giải giúp em

Câu 1: a) Dạng bậc thang của ma trận A: $\left(\begin{array}{cclc}-1&-3&1&-2\\0&-1&-2&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right).$ Hạng của ma trận A là 2. b) Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}-x_{1}-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}=0\\ -x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=0\end{matrix}\right.$ Giải hệ phương trình trên, ta được nghiệm tổng quát: $X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}=x_{3}\begin{pmatrix} 5\\ -2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+x_{4}\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},$ với \( x_{3}, x_{4} \in \mathbb{R}. \) Câu 2: Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(5m+1)x_1+(2m-8)x_2=m+11;\\(3m+1)x_1+(m-5)x_2=m+7.\end{array}\right.$ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hệ phương trình này là hệ phương trình tuyến tính hai biến \(x_1\) và \(x_2\). Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng ma trận hệ số của hệ phương trình có định thức khác không. Ma trận hệ số của hệ phương trình là: \[ A = \begin{pmatrix} 5m+1 & 2m-8 \\ 3m+1 & m-5 \end{pmatrix} \] Định thức của ma trận \(A\) là: \[ \Delta = (5m+1)(m-5) - (2m-8)(3m+1) \] \[ \Delta = 5m^2 - 25m + m - 5 - (6m^2 + 2m - 24m - 8) \] \[ \Delta = 5m^2 - 24m - 5 - 6m^2 + 22m + 8 \] \[ \Delta = -m^2 - 2m + 3 \] Bước 2: Giải hệ phương trình theo các trường hợp của \(m\) Trường hợp 1: \(\Delta \neq 0\) Nếu \(-m^2 - 2m + 3 \neq 0\), tức là \(m \neq 1\) và \(m \neq -3\), thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ta sử dụng phương pháp Cramer để tìm nghiệm: \[ \Delta_{x_1} = \begin{vmatrix} m+11 & 2m-8 \\ m+7 & m-5 \end{vmatrix} = (m+11)(m-5) - (2m-8)(m+7) \] \[ \Delta_{x_1} = m^2 - 5m + 11m - 55 - (2m^2 + 14m - 8m - 56) \] \[ \Delta_{x_1} = m^2 + 6m - 55 - 2m^2 - 6m + 56 \] \[ \Delta_{x_1} = -m^2 + 1 \] \[ \Delta_{x_2} = \begin{vmatrix} 5m+1 & m+11 \\ 3m+1 & m+7 \end{vmatrix} = (5m+1)(m+7) - (3m+1)(m+11) \] \[ \Delta_{x_2} = 5m^2 + 35m + m + 7 - (3m^2 + 33m + m + 11) \] \[ \Delta_{x_2} = 5m^2 + 36m + 7 - 3m^2 - 34m - 11 \] \[ \Delta_{x_2} = 2m^2 + 2m - 4 \] Do đó, nghiệm của hệ phương trình là: \[ x_1 = \frac{\Delta_{x_1}}{\Delta} = \frac{-m^2 + 1}{-m^2 - 2m + 3} \] \[ x_2 = \frac{\Delta_{x_2}}{\Delta} = \frac{2m^2 + 2m - 4}{-m^2 - 2m + 3} \] Trường hợp 2: \(\Delta = 0\) Nếu \(-m^2 - 2m + 3 = 0\), tức là \(m = 1\) hoặc \(m = -3\), thì hệ phương trình có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. - Nếu \(m = 1\): \[ \left\{\begin{array}{l}6x_1-6x_2=12;\\4x_1-4x_2=8.\end{array}\right. \] Hai phương trình này tương đương nhau, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm. - Nếu \(m = -3\): \[ \left\{\begin{array}{l}-14x_1-14x_2=-2;\\-8x_1-8x_2=-6.\end{array}\right. \] Hai phương trình này mâu thuẫn nhau, do đó hệ phương trình vô nghiệm. Kết luận: - Nếu \(m \neq 1\) và \(m \neq -3\), hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \[ x_1 = \frac{-m^2 + 1}{-m^2 - 2m + 3}, \quad x_2 = \frac{2m^2 + 2m - 4}{-m^2 - 2m + 3} \] - Nếu \(m = 1\), hệ phương trình có vô số nghiệm. - Nếu \(m = -3\), hệ phương trình vô nghiệm. Câu 3: a) Ta có: $\begin{vmatrix}m+2 & m-2 & 4 \\ 3 & m+2 & 5 \\ 1 & 2 & 2\end{vmatrix}= (m+2)\begin{vmatrix}m+2 & 5 \\ 2 & 2\end{vmatrix}- (m-2)\begin{vmatrix}3 & 5 \\ 1 & 2\end{vmatrix}+ 4\begin{vmatrix}3 & m+2 \\ 1 & 2\end{vmatrix}$ \(= (m+2)[(m+2) \cdot 2 - 5 \cdot 2] - (m-2)(3 \cdot 2 - 5 \cdot 1) + 4[3 \cdot 2 - (m+2) \cdot 1]\) \(= (m+2)(2m+4-10) - (m-2)(6-5) + 4(6-m-2)\) \(= (m+2)(2m-6) - (m-2)+ 4(4-m)\) \(= 2m^2-6m+4m-12 - m+2+ 16-4m\) \(= 2m^2-7m+6.\) Do đó, D khả nghịch khi và chỉ khi \(2m^2-7m+6 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2\) và \(m \neq \dfrac{3}{2}.\) b) Với \(m=1,\) ta có: \[D=\begin{pmatrix}3 & -1 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}.\] Ta có: \(\det(D)=2 \cdot 1^2-7 \cdot 1+6=1 \neq 0.\) Suy ra D khả nghịch. Ta có: \(\widetilde{D}=\begin{pmatrix} -4 & 6 & -9 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & -5 & 6 \end{pmatrix}.\) Suy ra \(D^{-1}=\dfrac{1}{\det(D)} \cdot {}^t\widetilde{D}=\begin{pmatrix} -4 & 1 & 3 \\ 6 & 2 & -5 \\ -9 & -3 & 6 \end{pmatrix}.\) Câu 4: Ta thấy rằng nếu tồn tại một ma trận C khác 0 thỏa mãn CB = BC = 0 thì B phải là ma trận suy biến (rank(B) < 3). Tính định thức của B: \[ \text{det}(B) = \begin{vmatrix} 6 & 0 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = 6 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \] \[ = 6 \cdot (4 \cdot 2 - 5 \cdot 2) + 4 \cdot (3 \cdot 2 - 4 \cdot 1) \] \[ = 6 \cdot (8 - 10) + 4 \cdot (6 - 4) \] \[ = 6 \cdot (-2) + 4 \cdot 2 \] \[ = -12 + 8 \] \[ = -4 \] Vì det(B) ≠ 0 nên B là ma trận không suy biến (rank(B) = 3). Do đó, không tồn tại một ma trận C khác 0 nào thỏa mãn CB = BC = 0. Đáp án: Không tồn tại một ma trận C khác 0 nào thỏa mãn CB = BC = 0 vì B là ma trận không suy biến (rank(B) = 3).