giúp với ạaa Thứ ngày,$*)~I_{15}=\int^1_0x^2\sqrt{1+x^3}dx$,Đặt $t=\sqrt{1+x^3}\Leftrightarrow t^2=1+x^3$,$2t~dt=3x^2dx$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán tích phân $ I_{15} = \int^1_0 x^2 \sqrt{1+x^3} \, dx $, ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến.

Bước 1: Đặt biến đổi

Đặt $ t = \sqrt{1 + x^3} $. Khi đó, ta có:
$$ t^2 = 1 + x^3 $$

Lấy đạo hàm hai vế theo $ x $, ta được:
$$ 2t \frac{dt}{dx} = 3x^2 $$

Suy ra:
$$ 2t \, dt = 3x^2 \, dx $$

Từ đó, ta có:
$$ x^2 \, dx = \frac{2t}{3} \, dt $$

Bước 2: Đổi cận

Khi $ x = 0 $, $ t = \sqrt{1 + 0^3} = 1 $.

Khi $ x = 1 $, $ t = \sqrt{1 + 1^3} = \sqrt{2} $.

Bước 3: Thay vào tích phân

Thay đổi biến và cận vào tích phân, ta có:
$$ I_{15} = \int^1_0 x^2 \sqrt{1+x^3} \, dx = \int^1_{\sqrt{2}} \frac{2t}{3} \cdot t \, dt $$

$$ = \frac{2}{3} \int^1_{\sqrt{2}} t^2 \, dt $$

Bước 4: Tính tích phân

Tính tích phân:
$$ \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} $$

Thay cận vào, ta có:
$$ \frac{2}{3} \left[ \frac{t^3}{3} \right]^1_{\sqrt{2}} = \frac{2}{3} \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} \right) $$

$$ = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) $$

$$ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1 - 2\sqrt{2}}{3} $$

$$ = \frac{2(1 - 2\sqrt{2})}{9} $$

Vậy giá trị của tích phân là:
$$ I_{15} = \frac{2(1 - 2\sqrt{2})}{9} $$