giúp em với ạa $c)~I_{14}=\int^1_2\frac x{(1+x^2)^2}dx$,Đặt t

Question

Accepted Answer

Để giải tích phân $ I_{14} = \int_2^1 \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx $, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số.

Bước 1: Đặt $ t = 1 + x^2 $.

Bước 2: Tính vi phân $ dt $:
$$ dt = 2x \, dx $$
$$ \Rightarrow x \, dx = \frac{dt}{2} $$

Bước 3: Xác định giới hạn mới của tích phân:
- Khi $ x = 2 $, thì $ t = 1 + 2^2 = 5 $.
- Khi $ x = 1 $, thì $ t = 1 + 1^2 = 2 $.

Bước 4: Thay $ t $ và $ x \, dx $ vào tích phân:
$$ I_{14} = \int_2^1 \frac{x}{(1+x^2)^2} \, dx = \int_5^2 \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{2} $$

Bước 5: Đổi thứ tự giới hạn tích phân (vì giới hạn trên nhỏ hơn giới hạn dưới):
$$ I_{14} = -\int_2^5 \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{2} $$

Bước 6: Rút gọn tích phân:
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \int_2^5 \frac{1}{t^2} \, dt $$

Bước 7: Tích phân $ \frac{1}{t^2} $:
$$ \int \frac{1}{t^2} \, dt = \int t^{-2} \, dt = -\frac{1}{t} + C $$

Bước 8: Áp dụng giới hạn tích phân:
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{t} \right]_2^5 $$
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} + \frac{1}{2} \right) $$
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \left( \frac{-1}{5} + \frac{1}{2} \right) $$
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \left( \frac{-2 + 5}{10} \right) $$
$$ I_{14} = -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{10} \right) $$
$$ I_{14} = -\frac{3}{20} $$

Vậy, giá trị của tích phân $ I_{14} $ là:
$$ I_{14} = -\frac{3}{20} $$