giúp mình trl câu hỏi

Câu 1: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ từ hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] Áp dụng công thức này cho hai điểm \(A(-1, 1, 2)\) và \(B(3, 3, -4)\): - Tọa độ \(x\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(3 - (-1) = 3 + 1 = 4\) - Tọa độ \(y\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(3 - 1 = 2\) - Tọa độ \(z\) của \(\overrightarrow{AB}\) là: \(-4 - 2 = -6\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((4, 2, -6)\). Do đó, đáp án đúng là \(D.~(4;2;-6)\). Câu 2: Để tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn vectơ theo tọa độ: Giả sử \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\), \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\), \(C\) có tọa độ \((a, a, 0)\), \(D\) có tọa độ \((0, a, 0)\), và \(S\) có tọa độ \((x, y, z)\). 2. Tính các vectơ: - \(\overrightarrow{SD} = (0 - x, a - y, 0 - z) = (-x, a-y, -z)\) - \(\overrightarrow{SA} = (0 - x, 0 - y, 0 - z) = (-x, -y, -z)\) - \(\overrightarrow{SC} = (a - x, a - y, 0 - z) = (a-x, a-y, -z)\) - \(\overrightarrow{SB} = (a - x, 0 - y, 0 - z) = (a-x, -y, -z)\) 3. Tính tổng các vectơ: \[ \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} = (-x, a-y, -z) - (-x, -y, -z) + (a-x, a-y, -z) - (a-x, -y, -z) \] \[ = (0, a-y+y, 0) + (a-x-a+x, a-y+y, 0) \] \[ = (0, a, 0) + (0, a, 0) = (0, 2a, 0) \] 4. Tính độ dài của vectơ: \[ |\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}| = \sqrt{0^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Vậy đáp án đúng là \(D. |\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}| = 2a\). Câu 3: Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\), ta cần xác định hướng của các vectơ này trong không gian của hình hộp. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là vectơ nối từ điểm \(A\) đến điểm \(C^\prime\). Trong hình hộp, \(A\) và \(C^\prime\) nằm trên hai mặt phẳng song song và đối diện nhau. Vectơ này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai vectơ: \(\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} + \overrightarrow{A^\prime C^\prime}\). 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{BB^\prime}\): - Vectơ \(\overrightarrow{BB^\prime}\) là vectơ nối từ điểm \(B\) đến điểm \(B^\prime\). Đây là vectơ thẳng đứng, song song với cạnh bên của hình hộp. 3. Xác định góc giữa hai vectơ: - Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\), ta cần tìm góc giữa hướng của hai vectơ này. - Vectơ \(\overrightarrow{BB^\prime}\) là vectơ thẳng đứng, do đó nó song song với trục thẳng đứng của hình hộp. - Vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) có thành phần nằm ngang \(\overrightarrow{AA^\prime}\) và thành phần thẳng đứng \(\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\). 4. Xác định góc giữa \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\): - Vì \(\overrightarrow{BB^\prime}\) là vectơ thẳng đứng, góc giữa \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\) chính là góc giữa thành phần thẳng đứng của \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\). - Thành phần thẳng đứng của \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là \(\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\), do đó góc giữa \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\) là góc giữa \(\overrightarrow{A^\prime C^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\). 5. Kết luận: - Dựa vào các lựa chọn, góc giữa \(\overrightarrow{AC^\prime}\) và \(\overrightarrow{BB^\prime}\) là góc \(\widehat{C^\prime AA^\prime}\). Vậy đáp án đúng là \(B.~\widehat{C^\prime AA^\prime}.\) Câu 4: Để phân tích vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\), ta cần xác định mối quan hệ giữa các điểm trong hình hộp. 1. Xác định các vectơ cơ bản: - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{c}\) 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\): - Để đi từ điểm \(A\) đến điểm \(C^\prime\), ta có thể đi theo đường: \(A \to B \to C \to C^\prime\). - Theo đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC^\prime} \] 3. Biểu diễn các vectơ trung gian: - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành) - \(\overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{c}\) (vì \(CC^\prime\) song song và bằng \(AA^\prime\)) 4. Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{AC^\prime}\): \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] 5. Kết luận: Vậy, vectơ \(\overrightarrow{AC^\prime}\) được phân tích theo ba vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) là: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] Do đó, đáp án đúng là \(C\). Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của tích vô hướng giữa hai vectơ và cách xác định góc giữa chúng. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), tích vô hướng của chúng được định nghĩa là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha \] trong đó \(\alpha\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] So sánh với công thức của tích vô hướng, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha = -|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Chia cả hai vế cho \( |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \) (với điều kiện \(|\overrightarrow{a}| \neq 0\) và \(|\overrightarrow{b}| \neq 0\)), ta được: \[ \cos \alpha = -1 \] Góc \(\alpha\) có \(\cos \alpha = -1\) khi và chỉ khi \(\alpha = 180^\circ\). Vậy, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(180^\circ\). Do đó, đáp án đúng là: A. \(\alpha = 180^\circ\). Câu 6: Để xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha \] Theo đề bài, ta có: - \( |\overrightarrow{a}| = 3 \) - \( |\overrightarrow{b}| = 2 \) - \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3 \) Thay các giá trị này vào công thức tích vô hướng, ta được: \[ -3 = 3 \cdot 2 \cdot \cos \alpha \] Suy ra: \[ -3 = 6 \cos \alpha \] Chia cả hai vế cho 6, ta có: \[ \cos \alpha = -\frac{1}{2} \] Góc \(\alpha\) có \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\) là góc \(120^\circ\). Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\alpha = 120^\circ\). Đáp án đúng là \(D.~\alpha=120^\circ.\) Câu 7: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \) trong hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \), ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình lăng trụ và cách xác định vectơ chỉ phương. 1. Cấu trúc của hình lăng trụ tam giác: - Hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \) có hai đáy là tam giác \( ABC \) và tam giác \( A'B'C' \). - Các cạnh bên của lăng trụ là các đoạn thẳng song song và bằng nhau, nối các đỉnh tương ứng của hai đáy: \( AA' \), \( BB' \), \( CC' \). 2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó. - Đối với đường thẳng \( AB \), vectơ chỉ phương sẽ là một vectơ nằm trên mặt phẳng đáy \( ABC \) và song song với đoạn thẳng \( AB \). 3. Xét các đáp án: - \( \overrightarrow{A'C'} \): Đây là vectơ nằm trên mặt phẳng đáy trên \( A'B'C' \), không song song với \( AB \). - \( \overrightarrow{A'C} \): Đây là vectơ nối từ đỉnh \( A' \) đến đỉnh \( C \), không song song với \( AB \). - \( \overrightarrow{A'B'} \): Đây là vectơ nằm trên mặt phẳng đáy trên \( A'B'C' \), song song với \( AB \) vì \( AB \parallel A'B' \). - \( \overrightarrow{B'C} \): Đây là vectơ nối từ đỉnh \( B' \) đến đỉnh \( C \), không song song với \( AB \). 4. Kết luận: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \) là \( \overrightarrow{A'B'} \) vì nó song song với \( AB \). Do đó, đáp án đúng là \( C.~\overrightarrow{A'B'} \). Câu 8: Để tìm tọa độ của điểm \( A' \) đối xứng với điểm \( A \) qua điểm \( B \), ta cần sử dụng công thức đối xứng qua một điểm trong không gian. Giả sử điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và điểm \( B(x_2, y_2, z_2) \). Tọa độ của điểm \( A'(x', y', z') \) đối xứng với \( A \) qua \( B \) được xác định bởi công thức: \[ x' = 2x_2 - x_1 \] \[ y' = 2y_2 - y_1 \] \[ z' = 2z_2 - z_1 \] Áp dụng công thức trên với \( A(2, 1, 1) \) và \( B(-1, 2, 1) \): - Tọa độ \( x' \): \[ x' = 2 \times (-1) - 2 = -2 - 2 = -4 \] - Tọa độ \( y' \): \[ y' = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] - Tọa độ \( z' \): \[ z' = 2 \times 1 - 1 = 2 - 1 = 1 \] Vậy tọa độ của điểm \( A' \) là \( (-4, 3, 1) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~A^\prime(-4;3;1) \). Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( k \) sao cho véc tơ \(\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) vuông góc với véc tơ \(\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\). Điều kiện để hai véc tơ vuông góc là tích vô hướng của chúng bằng 0, tức là: \[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 0 \] Thay \(\overrightarrow{p}\) và \(\overrightarrow{q}\) vào, ta có: \[ (k\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = 0 \] Khai triển tích vô hướng: \[ k\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - k\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \] Biết rằng \(|\overrightarrow{u}| = 2\) và \(|\overrightarrow{v}| = 1\), ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = |\overrightarrow{u}|^2 = 4 \] \[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{v}|^2 = 1 \] Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là \(120^\circ\), do đó: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(120^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \] Thay các giá trị này vào phương trình: \[ k \cdot 4 - k \cdot (-1) + (-1) - 1 = 0 \] \[ 4k + k - 2 = 0 \] \[ 5k - 2 = 0 \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ 5k = 2 \implies k = \frac{2}{5} \] Vậy giá trị của \( k \) là \(\frac{2}{5}\). Đáp án đúng là \( D.~k=\frac{2}{5} \). Câu 10: Để tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\), trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các vectơ này. 1. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2; 2 - 1; 1 - 1) = (-3; 1; 0) \] 2. Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - 2; 3 - 1; 5 - 1) = (-4; 2; 4) \] 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\): Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u} = (x_1, y_1, z_1)\) và \(\overrightarrow{v} = (x_2, y_2, z_2)\) được tính bằng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \] Áp dụng công thức trên cho \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3)(-4) + (1)(2) + (0)(4) \] \[ = 12 + 2 + 0 = 14 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) là 14. Do đó, đáp án đúng là B. 14. Câu 11: Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3;1;-1) \) trên trục \( Oy \), ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục \( Oy \) sao cho đường thẳng nối điểm đó với \( M \) vuông góc với trục \( Oy \). Trục \( Oy \) có phương là vector \( \vec{j} = (0, 1, 0) \). Giả sử điểm \( H \) là hình chiếu của \( M \) trên trục \( Oy \), có tọa độ \( H(0, y, 0) \). Để \( MH \) vuông góc với trục \( Oy \), vector \( \overrightarrow{MH} \) phải vuông góc với vector \( \vec{j} \). Vector \( \overrightarrow{MH} = (0 - 3, y - 1, 0 + 1) = (-3, y - 1, 1) \). Điều kiện vuông góc là tích vô hướng của \( \overrightarrow{MH} \) và \( \vec{j} \) phải bằng 0: \[ \overrightarrow{MH} \cdot \vec{j} = (-3, y - 1, 1) \cdot (0, 1, 0) = -3 \cdot 0 + (y - 1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = y - 1 = 0 \] Giải phương trình \( y - 1 = 0 \), ta được \( y = 1 \). Vậy tọa độ của điểm \( H \) là \( (0, 1, 0) \). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \( M(3;1;-1) \) trên trục \( Oy \) là \( B.~(0;1;0) \).