môn toán lớp 12 Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(4;2;-1),~B(0;-2;3);C(1;-1;2).$ Xét tính đúng sai của các mệnh,đề sau:,a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(2;0;1)$,b) Độ dài của vec tơ là AB bằng $2\sqrt5$,c) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.,d) Tọa độ điểm M nằm trên trục hoành Ox để tam giác ABM vuông tại A là $(7;0;0).$,PHẦN III. Tự luận (2 điểm). Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ $\overrightarrow a=(1;2;3);\overrightarrow b=(-2;4;1);\overrightarrow c=(-1;3;4).$,Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow v=2\overrightarrow a+3\overrightarrow b-5\overrightarrow c$,Bài làm

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1:
Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết.

a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

Tọa độ trung điểm $ M $ của đoạn thẳng $ AB $ được tính bằng công thức:
$$
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)
$$
Với $ A(4;2;-1) $ và $ B(0;-2;3) $, ta có:
$$
M\left(\frac{4 + 0}{2}, \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-1 + 3}{2}\right) = M(2, 0, 1)
$$
Vậy mệnh đề a) là đúng.

b) Độ dài của vectơ AB:

Độ dài của vectơ $ \overrightarrow{AB} $ được tính bằng công thức:
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$
Với $ A(4;2;-1) $ và $ B(0;-2;3) $, ta có:
$$
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
$$
Vậy mệnh đề b) là sai.

c) Ba điểm A, B, C thẳng hàng:

Ba điểm $ A, B, C $ thẳng hàng nếu vectơ $ \overrightarrow{AB} $ và vectơ $ \overrightarrow{AC} $ cùng phương, tức là tồn tại $ k $ sao cho:
$$
\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}
$$
Tính $ \overrightarrow{AB} = (0 - 4, -2 - 2, 3 - (-1)) = (-4, -4, 4) $.

Tính $ \overrightarrow{AC} = (1 - 4, -1 - 2, 2 - (-1)) = (-3, -3, 3) $.

Ta thấy:
$$
\overrightarrow{AB} = (-4, -4, 4) = \frac{4}{3} \cdot (-3, -3, 3) = \frac{4}{3} \cdot \overrightarrow{AC}
$$
Vậy $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC} $ cùng phương, do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng. Mệnh đề c) là đúng.

d) Tọa độ điểm M nằm trên trục hoành Ox để tam giác ABM vuông tại A:

Điểm $ M $ nằm trên trục hoành Ox có dạng $ M(x, 0, 0) $.

Tam giác $ ABM $ vuông tại $ A $ khi và chỉ khi:
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0
$$
Tính $ \overrightarrow{AM} = (x - 4, 0 - 2, 0 - (-1)) = (x - 4, -2, 1) $.

Tính tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = (-4)(x - 4) + (-4)(-2) + 4(1) = -4x + 16 + 8 + 4 = -4x + 28
$$
Để $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 $, ta có:
$$
-4x + 28 = 0 \Rightarrow 4x = 28 \Rightarrow x = 7
$$
Vậy tọa độ điểm $ M $ là $ (7, 0, 0) $. Mệnh đề d) là đúng.

Tóm lại:
- Mệnh đề a) đúng.
- Mệnh đề b) sai.
- Mệnh đề c) đúng.
- Mệnh đề d) đúng.