giải giúp e

Câu 1: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{3x+2} \), chúng ta cần tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{3x+2} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{2}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{3 + 0} = \frac{1}{3} \] 2. Tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{3x+2} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{2}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{2}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{3 + 0} = \frac{1}{3} \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{3x+2} \) là \( y = \frac{1}{3} \). Đáp án đúng là: \( D.~y=\frac{1}{3} \). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{v}\) và \(\overrightarrow{u}\). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\) và \(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\) được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] Áp dụng công thức này cho hai vectơ \(\overrightarrow{v} = (-2, 8, 8)\) và \(\overrightarrow{u} = (3, 8, -5)\), ta có: \[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} = (-2) \cdot 3 + 8 \cdot 8 + 8 \cdot (-5) \] Tính từng phần tử: - \((-2) \cdot 3 = -6\) - \(8 \cdot 8 = 64\) - \(8 \cdot (-5) = -40\) Cộng các kết quả lại: \[ -6 + 64 - 40 = 18 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{v}\) và \(\overrightarrow{u}\) là 18. Do đó, đáp án đúng là C. 18. Câu 3: Để xác định tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}\), ta cần hiểu rằng tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) chính là các hệ số của các đơn vị véc-tơ \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\). Cụ thể: - Hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là \(-2\). - Hệ số của \(\overrightarrow{j}\) là \(3\). - Hệ số của \(\overrightarrow{k}\) là \(5\). Do đó, tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là \((-2; 3; 5)\). Vậy đáp án đúng là \(A.~(-2; 3; 5)\). Câu 4: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) dựa trên đồ thị, ta cần tìm các điểm mà tại đó đồ thị chuyển từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng. Quan sát đồ thị: 1. Từ \( x = -1 \) đến \( x = 0 \), đồ thị giảm. 2. Từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), đồ thị tăng. 3. Từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), đồ thị giảm. 4. Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), đồ thị tăng. Dựa vào sự thay đổi này, ta có các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \), đồ thị chuyển từ giảm sang tăng, nên đây là một điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \), đồ thị chuyển từ tăng sang giảm, nên đây là một điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), đồ thị chuyển từ giảm sang tăng, nên đây là một điểm cực tiểu. Vậy, hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án: D. 3. Câu 5: Để tìm tọa độ điểm \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \), ta sử dụng công thức trọng tâm: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Với \( A(-4; -1; 1) \), \( B(-5; 3; -1) \), \( C(24; 13; -12) \), ta có: - Tọa độ \( x \) của \( G \): \[ x_G = \frac{-4 + (-5) + 24}{3} = \frac{-9 + 24}{3} = \frac{15}{3} = 5 \] - Tọa độ \( y \) của \( G \): \[ y_G = \frac{-1 + 3 + 13}{3} = \frac{15}{3} = 5 \] - Tọa độ \( z \) của \( G \): \[ z_G = \frac{1 + (-1) + (-12)}{3} = \frac{-12}{3} = -4 \] Vậy tọa độ của điểm \( G \) là \( (5; 5; -4) \). Do đó, đáp án đúng là \( \boxed{D.~G(5;5;-4)} \). Câu 6: Để tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{-3x^2 - x + 3}{-x + 3} \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ -x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \] Vậy, hàm số xác định với \( x \neq 3 \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(-6x - 1)(-x + 3) - (-3x^2 - x + 3)(-1)}{(-x + 3)^2} \] Rút gọn tử số: \[ = \frac{(6x^2 - 18x + x + 3) - (3x^2 + x - 3)}{(-x + 3)^2} \] \[ = \frac{6x^2 - 17x + 3 - 3x^2 - x + 3}{(-x + 3)^2} \] \[ = \frac{3x^2 - 18x + 6}{(-x + 3)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 18x + 6 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 6x + 2 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7} \] Vậy, các điểm cực trị là \( x_1 = 3 + \sqrt{7} \) và \( x_2 = 3 - \sqrt{7} \). Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị Khoảng cách giữa hai điểm cực trị trên trục hoành là: \[ |x_1 - x_2| = |(3 + \sqrt{7}) - (3 - \sqrt{7})| = |2\sqrt{7}| = 2\sqrt{7} \] Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x_1 = 3 + \sqrt{7} \): \[ y_1 = \frac{-3(3+\sqrt{7})^2 - (3+\sqrt{7}) + 3}{-(3+\sqrt{7}) + 3} \] \[ = \frac{-3(9 + 6\sqrt{7} + 7) - 3 - \sqrt{7} + 3}{-\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-3(16 + 6\sqrt{7}) - \sqrt{7}}{-\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-48 - 18\sqrt{7} - \sqrt{7}}{-\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-48 - 19\sqrt{7}}{-\sqrt{7}} \] \[ = \frac{48 + 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] - Tại \( x_2 = 3 - \sqrt{7} \): \[ y_2 = \frac{-3(3-\sqrt{7})^2 - (3-\sqrt{7}) + 3}{-(3-\sqrt{7}) + 3} \] \[ = \frac{-3(9 - 6\sqrt{7} + 7) - 3 + \sqrt{7} + 3}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-3(16 - 6\sqrt{7}) + \sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-48 + 18\sqrt{7} + \sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] \[ = \frac{-48 + 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \] Khoảng cách giữa hai điểm cực trị trên trục tung là: \[ |y_1 - y_2| = \left|\frac{48 + 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}} - \frac{-48 + 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\right| \] \[ = \left|\frac{48 + 19\sqrt{7} + 48 - 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\right| \] \[ = \left|\frac{96}{\sqrt{7}}\right| \] Tổng khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \[ \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + \left(\frac{96}{\sqrt{7}}\right)^2} \] \[ = \sqrt{4 \times 7 + \frac{96^2}{7}} \] \[ = \sqrt{28 + \frac{9216}{7}} \] \[ = \sqrt{28 + 1316.57142857} \] \[ = \sqrt{1344.57142857} \] \[ = 6\sqrt{37} \] Vậy, khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 6\sqrt{37} \). Đáp án đúng là \( D. 6\sqrt{37} \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \). Tuy nhiên, vì bảng biến thiên không được cung cấp trong nội dung câu hỏi, tôi sẽ giả định rằng bảng biến thiên đã cho các thông tin về khoảng tăng giảm, cực trị, giới hạn tại vô cùng, và các điểm đặc biệt khác của hàm số. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) có dạng sau: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & a & b & c & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & M & \searrow & +\infty \\ \end{array} \] Trong đó: - \( a \) và \( c \) là các điểm tới hạn. - \( b \) là điểm cực đại hoặc cực tiểu. - \( M \) là giá trị cực đại hoặc cực tiểu tương ứng. Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết các yêu cầu cụ thể của bài toán: 1. Tìm khoảng tăng giảm của hàm số: - Hàm số tăng trên khoảng \( (-\infty, b) \). - Hàm số giảm trên khoảng \( (b, +\infty) \). 2. Tìm giá trị cực đại và cực tiểu: - Hàm số đạt cực đại tại \( x = b \) với giá trị \( f(b) = M \). 3. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): - \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \) - \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \) 4. Xác định tính đơn điệu của hàm số: - Hàm số không đơn điệu trên toàn bộ miền xác định vì nó có khoảng tăng và giảm. 5. Xác định các điểm uốn (nếu có): - Nếu bảng biến thiên cung cấp thêm thông tin về đạo hàm bậc hai, chúng ta có thể xác định các điểm uốn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta không có thông tin về đạo hàm bậc hai, nên không thể xác định các điểm uốn. Kết luận: - Hàm số \( y = f(x) \) tăng trên khoảng \( (-\infty, b) \) và giảm trên khoảng \( (b, +\infty) \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = b \) với giá trị \( f(b) = M \). - Giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \) là \( -\infty \) và khi \( x \to +\infty \) là \( +\infty \). - Hàm số không đơn điệu trên toàn bộ miền xác định. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán liên quan đến bảng biến thiên của hàm số. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác, hãy để lại bình luận bên dưới!