giải đáp án

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) = \frac{2x^2 + 2ax + 32}{x + 14} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) được tính bằng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 + 2ax + 32)'(x + 14) - (2x^2 + 2ax + 32)(x + 14)'}{(x + 14)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (2x^2 + 2ax + 32)' = 4x + 2a \] \[ (x + 14)' = 1 \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{(4x + 2a)(x + 14) - (2x^2 + 2ax + 32)}{(x + 14)^2} \] Phân tích tử số: \[ (4x + 2a)(x + 14) = 4x^2 + 56x + 2ax + 28a = 4x^2 + (56 + 2a)x + 28a \] \[ (2x^2 + 2ax + 32) = 2x^2 + 2ax + 32 \] Vậy: \[ f'(x) = \frac{4x^2 + (56 + 2a)x + 28a - (2x^2 + 2ax + 32)}{(x + 14)^2} \] \[ f'(x) = \frac{4x^2 + (56 + 2a)x + 28a - 2x^2 - 2ax - 32}{(x + 14)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 56x + 28a - 32}{(x + 14)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 56x + 28a - 32}{(x + 14)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{2x^2 + 56x + 28a - 32}{(x + 14)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi tử số bằng 0: \[ 2x^2 + 56x + 28a - 32 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 + 28x + 14a - 16 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 1 \cdot (14a - 16)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{784 - 56a + 64}}{2} \] \[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{848 - 56a}}{2} \] \[ x = \frac{-28 \pm \sqrt{56(15 - a)}}{2} \] \[ x = \frac{-28 \pm 2\sqrt{14(15 - a)}}{2} \] \[ x = -14 \pm \sqrt{14(15 - a)} \] Bước 3: Xác định các điểm cực trị Các điểm cực trị là: \[ x_1 = -14 + \sqrt{14(15 - a)} \] \[ x_2 = -14 - \sqrt{14(15 - a)} \] Bước 4: Tính \( P = -2x_1 + 3x_2 \) \[ P = -2(-14 + \sqrt{14(15 - a)}) + 3(-14 - \sqrt{14(15 - a)}) \] \[ P = 28 - 2\sqrt{14(15 - a)} - 42 - 3\sqrt{14(15 - a)} \] \[ P = -14 - 5\sqrt{14(15 - a)} \] Vậy, giá trị của \( P \) là: \[ P = -14 - 5\sqrt{14(15 - a)} \] Câu 2: Để tìm khoảng tử phân vị, ta cần xác định các giá trị phân vị thứ nhất (Q1) và phân vị thứ ba (Q3) từ bảng tần số. Bước 1: Tính tổng tần số Tổng tần số là: \[ 6 + 5 + 8 + 8 + 5 = 32 \] Bước 2: Xác định vị trí của Q1 và Q3 - Vị trí của Q1 là \(\frac{1}{4} \times 32 = 8\) - Vị trí của Q3 là \(\frac{3}{4} \times 32 = 24\) Bước 3: Tìm Q1 - Tần số tích lũy đến khoảng [19, 20) là 6. - Tần số tích lũy đến khoảng [20, 21) là \(6 + 5 = 11\). Vị trí thứ 8 nằm trong khoảng [20, 21), do đó Q1 thuộc khoảng này. Bước 4: Tìm Q3 - Tần số tích lũy đến khoảng [21, 22) là \(11 + 8 = 19\). - Tần số tích lũy đến khoảng [22, 23) là \(19 + 8 = 27\). Vị trí thứ 24 nằm trong khoảng [22, 23), do đó Q3 thuộc khoảng này. Bước 5: Tính khoảng tử phân vị Khoảng tử phân vị là: \[ Q3 - Q1 = (22, 23) - (20, 21) \] Vì Q1 và Q3 nằm trong các khoảng khác nhau, ta có thể ước lượng: - Q1 ≈ 20.5 - Q3 ≈ 22.5 Khoảng tử phân vị là: \[ 22.5 - 20.5 = 2.0 \] Vậy khoảng tử phân vị là 2.0. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của hai chiếc khinh khí cầu trong hệ trục tọa độ Oxyz đã cho, sau đó tính bình phương khoảng cách giữa hai điểm này. Bước 1: Xác định tọa độ của hai khinh khí cầu - Khinh khí cầu thứ nhất: - Cách điểm xuất phát về phía Đông 11 km, tức là tọa độ x = -11 (vì trục Ox hướng về phía Tây). - Cách điểm xuất phát về phía Nam 17 km, tức là tọa độ y = 17. - Cách mặt đất 1 km, tức là tọa độ z = 1. - Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là \( A(-11, 17, 1) \). - Khinh khí cầu thứ hai: - Cách điểm xuất phát về phía Bắc 16 km, tức là tọa độ y = -16. - Cách điểm xuất phát về phía Tây 13 km, tức là tọa độ x = 13. - Cách mặt đất 2 km, tức là tọa độ z = 2. - Vậy tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là \( B(13, -16, 2) \). Bước 2: Tính bình phương khoảng cách giữa hai khinh khí cầu Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian được tính theo công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Bình phương khoảng cách là: \[ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 \] Thay tọa độ của \( A \) và \( B \) vào công thức: \[ d^2 = (13 - (-11))^2 + (-16 - 17)^2 + (2 - 1)^2 \] Tính từng phần: - \( (13 - (-11))^2 = (13 + 11)^2 = 24^2 = 576 \) - \( (-16 - 17)^2 = (-33)^2 = 1089 \) - \( (2 - 1)^2 = 1^2 = 1 \) Cộng các kết quả lại: \[ d^2 = 576 + 1089 + 1 = 1666 \] Vậy bình phương khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là 1666. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của điểm \( C \) trong hệ tọa độ \( Oxyz \). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Gọi \( A \) là gốc tọa độ \( O \), nên \( A(0, 0, 0) \). - Vì đáy là hình vuông cạnh 5, ta có: - \( B(5, 0, 0) \) - \( D(0, 5, 0) \) - \( C(5, 5, 0) \) 2. Chiều cao của hình hộp chữ nhật: - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là 7, do đó các điểm trên mặt phẳng phía trên có tọa độ \( z = 7 \). - Tọa độ của \( C' \) là \( (5, 5, 7) \). 3. Tính giá trị biểu thức: - Với \( C(5, 5, 0) \), ta có: - \( a = 5 \) - \( b = 5 \) - \( c = 0 \) - Tính \( 2a - b^2 + 3c \): \[ 2a - b^2 + 3c = 2 \times 5 - 5^2 + 3 \times 0 = 10 - 25 + 0 = -15 \] Vậy, giá trị của biểu thức \( 2a - b^2 + 3c \) là \(-15\).