giải toán 12

Câu 1: Để xác định vectơ cùng hướng với \( \overrightarrow{A'B'} \), ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình hộp và cách xác định hướng của các vectơ trong không gian. 1. Cấu trúc của hình hộp: - Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh A, B, C, D nằm trên mặt đáy và các đỉnh A', B', C', D' nằm trên mặt trên. - Các cạnh bên của hình hộp là các đoạn thẳng song song và bằng nhau, cụ thể là \( AA', BB', CC', DD' \). 2. Xác định hướng của vectơ \( \overrightarrow{A'B'} \): - Vectơ \( \overrightarrow{A'B'} \) là vectơ nối từ điểm A' đến điểm B'. - Trong hình hộp, các cạnh tương ứng của mặt đáy và mặt trên là song song và bằng nhau. Do đó, \( \overrightarrow{A'B'} \) sẽ song song và cùng hướng với \( \overrightarrow{AB} \). 3. So sánh với các đáp án: - A. \( \overrightarrow{B'A'} \): Vectơ này ngược hướng với \( \overrightarrow{A'B'} \). - B. \( \overrightarrow{D'C'} \): Vectơ này song song với \( \overrightarrow{DC} \), không cùng hướng với \( \overrightarrow{A'B'} \). - C. \( \overrightarrow{BA} \): Vectơ này ngược hướng với \( \overrightarrow{AB} \), do đó không cùng hướng với \( \overrightarrow{A'B'} \). - D. \( \overrightarrow{CD} \): Vectơ này song song với \( \overrightarrow{AB} \) nhưng không cùng hướng với \( \overrightarrow{A'B'} \). Kết luận: Vectơ \( \overrightarrow{A'B'} \) cùng hướng với vectơ \( \overrightarrow{D'C'} \). Do đó, đáp án đúng là B. \( \overrightarrow{D'C'} \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các vectơ trong hình hộp ABCD-A'B'C'D'. 1. Xét vectơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\): - \(\overrightarrow{AB}\) là vectơ từ A đến B. - \(\overrightarrow{AD}\) là vectơ từ A đến D. - \(\overrightarrow{AA'}\) là vectơ từ A đến A'. Khi cộng ba vectơ này, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{AA'} \] Do đó, tổng của ba vectơ này là vectơ từ A đến A'. 2. Xét các đáp án: - A. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CA'}\): Sai, vì \(\overrightarrow{CA'}\) không phải là tổng của ba vectơ này. - B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CA}\): Sai, vì \(\overrightarrow{CA}\) không phải là tổng của ba vectơ này. - C. \(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'D} + \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{A'C}\): Sai, vì \(\overrightarrow{AA}\) không có nghĩa. - D. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{A'C}\): Đúng, vì \(\overrightarrow{A'C}\) là tổng của ba vectơ này. Vậy, đáp án đúng là D. Câu 3: Để xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha \] Theo đề bài, ta có: - $|\overrightarrow{a}| = 3$ - $|\overrightarrow{b}| = 2$ - $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -3$ Thay các giá trị này vào công thức tích vô hướng, ta được: \[ -3 = 3 \cdot 2 \cdot \cos \alpha \] Suy ra: \[ -3 = 6 \cdot \cos \alpha \] Chia cả hai vế cho 6, ta có: \[ \cos \alpha = -\frac{1}{2} \] Góc $\alpha$ có $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$ là $\alpha = 120^\circ$ (vì $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$). Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\alpha = 120^\circ$. Đáp án đúng là: $A.~\alpha=120^\circ.$ Câu 4: Để xác định tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{u}\), ta cần hiểu rằng véc tơ \(\overrightarrow{u}\) được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc tơ đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\). Cụ thể: - \(\overrightarrow{i}\) là véc tơ đơn vị theo trục Ox, có tọa độ là \((1; 0; 0)\). - \(\overrightarrow{j}\) là véc tơ đơn vị theo trục Oy, có tọa độ là \((0; 1; 0)\). - \(\overrightarrow{k}\) là véc tơ đơn vị theo trục Oz, có tọa độ là \((0; 0; 1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{u}\) được cho là: \[ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \] Tọa độ của \(\overrightarrow{u}\) được xác định bằng cách lấy hệ số của các véc tơ đơn vị: - Hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là 2, nên tọa độ x là 2. - Hệ số của \(\overrightarrow{j}\) là 3, nên tọa độ y là 3. - Hệ số của \(\overrightarrow{k}\) là 1, nên tọa độ z là 1. Do đó, tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow{u}\) là \((2; 3; 1)\). Vậy đáp án đúng là \(D.~(2; 3; 1)\). Câu 5: Để tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm \( A(1; -2; 3) \) trên mặt phẳng tọa độ \( (Oxz) \), ta cần hiểu rằng hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là điểm có cùng tọa độ với điểm đó trên các trục mà mặt phẳng chứa, và có tọa độ bằng 0 trên trục mà mặt phẳng không chứa. Mặt phẳng \( (Oxz) \) là mặt phẳng chứa trục \( Ox \) và trục \( Oz \), do đó: - Tọa độ \( x \) của điểm \( M \) sẽ giữ nguyên như điểm \( A \), tức là \( x = 1 \). - Tọa độ \( z \) của điểm \( M \) cũng giữ nguyên như điểm \( A \), tức là \( z = 3 \). - Tọa độ \( y \) của điểm \( M \) sẽ bằng 0 vì mặt phẳng \( (Oxz) \) không chứa trục \( Oy \). Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( (1; 0; 3) \). Do đó, đáp án đúng là \( D.~M(1; 0; 3) \). Câu 6: Để tìm tọa độ điểm $C(x;y;z)$, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng mà máy bay di chuyển và tính toán vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. 1. Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: Điểm $A(800;500;7)$ và điểm $B(940;550;9)$ cho ta vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (940 - 800; 550 - 500; 9 - 7) = (140; 50; 2) \] 2. Tính tốc độ di chuyển của máy bay: Máy bay di chuyển từ $A$ đến $B$ trong 10 phút. Vậy tốc độ di chuyển của máy bay là: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{140}{10}; \frac{50}{10}; \frac{2}{10}\right) = (14; 5; 0.2) \text{ km/phút} \] 3. Tính tọa độ điểm $C$ sau 5 phút tiếp theo: Từ điểm $B(940;550;9)$, sau 5 phút, máy bay sẽ di chuyển thêm: \[ \overrightarrow{BC} = 5 \times \overrightarrow{v} = 5 \times (14; 5; 0.2) = (70; 25; 1) \] Tọa độ điểm $C$ là: \[ C = B + \overrightarrow{BC} = (940 + 70; 550 + 25; 9 + 1) = (1010; 575; 10) \] Vậy tọa độ điểm $C$ là $(1010; 575; 10)$. Đáp án đúng là C. (1010; 575; 10).