trl giúp mình vs

Câu 12: Để tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{HP}\), ta cần biết tọa độ của hai điểm \(H\) và \(P\). Từ hình vẽ, ta có: - Tọa độ điểm \(H(0; 5; 6)\). - Tọa độ điểm \(P(4; 0; 6)\). Vectơ \(\overrightarrow{HP}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm \(P\) trừ đi tọa độ điểm \(H\): \[ \overrightarrow{HP} = (x_P - x_H; y_P - y_H; z_P - z_H) \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ \overrightarrow{HP} = (4 - 0; 0 - 5; 6 - 6) = (4; -5; 0) \] Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{HP}\) là \((4; -5; 0)\). Đáp án đúng là \(D.~\overrightarrow{HP}(4; -5; 0)\). Câu 1: Để xác định tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): Hai vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ cùng phương với nhau. - Trong hình lăng trụ đứng, các cạnh bên như $AA'$ và $CC'$ đều song song và bằng nhau. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ cùng phương với nhau. - Kết luận: Đúng. Khẳng định b): $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'} = 2\overrightarrow{AM}$. - Ta có $M$ là trung điểm của $CC'$, do đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'})$. - Vậy $2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'}$. - Kết luận: Đúng. Khẳng định c): $\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{CN}$. - Ta có $N$ là trung điểm của $AB$, do đó $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Xét $\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{NM}$: - $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}$. - $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}$. - $\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AM}$. - Thay các giá trị vào, ta có: - $\overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{NM} = (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) - (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}) - (\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AM})$. - Đơn giản hóa, ta thấy không thể rút gọn thành $2\overrightarrow{CN}$. - Kết luận: Sai. Khẳng định d): $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CC'} - \overrightarrow{AC}$. - Ta có $M$ là trung điểm của $CC'$, $N$ là trung điểm của $AB$. - Xét $\overrightarrow{MN}$: - $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}$. - $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Thay vào, ta có: - $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - Đơn giản hóa, ta thấy không thể rút gọn thành $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CC'} - \overrightarrow{AC}$. - Kết luận: Sai. Tóm lại: - Khẳng định a) Đúng. - Khẳng định b) Đúng. - Khẳng định c) Sai. - Khẳng định d) Sai. Câu 2: Để xác định mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, ta sẽ phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\): - Theo định nghĩa của phép cộng vectơ, ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). - Mệnh đề này đúng vì nó thể hiện quy tắc hình bình hành trong phép cộng vectơ. b) \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}\): - Ta có: \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CI}\). - Vì \(I\) là trung điểm của \(CD\), nên \(\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). - Do đó, \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). - Mệnh đề này sai vì \(\overrightarrow{BI}\) không bằng \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}\). c) \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\): - Ta có: \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI}\). - Vì \(I\) là trung điểm của \(CD\), nên \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). - Do đó, \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). - Mệnh đề này sai vì biểu thức không khớp với \(\overrightarrow{BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}\). d) \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\): - Ta có: \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\) vì \(I\) là trung điểm của \(CD\). - Biểu thức \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\) không tương đương với \(\overrightarrow{AI}\). - Mệnh đề này sai vì biểu thức không đúng với định nghĩa của \(\overrightarrow{AI}\). Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Các mệnh đề b), c), d) sai. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề a) \( A(2;3;0) \). Từ đề bài, ta có \(\overline{OA} = 2\overline{j} + 3\overline{k}\). Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm \(A\) là \((0, 2, 3)\). Do đó, mệnh đề \(A(2;3;0)\) là sai. Mệnh đề b) \(\overrightarrow{AB} = (2; -4; -2)\). Tọa độ của điểm \(B\) từ \(\overline{OB} = 2\overline{i} - 2\overline{j} + \overline{k}\) là \((2, -2, 1)\). Do đó, \(\overrightarrow{AB} = \overline{OB} - \overline{OA} = (2, -2, 1) - (0, 2, 3) = (2, -4, -2)\). Mệnh đề này là đúng. Mệnh đề c) Có tất cả 2 giá trị của tham số \(m\) để \(|\overrightarrow{u}| = AB\). Trước tiên, tính độ dài của \(\overrightarrow{AB}\): \[ AB = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \] Tiếp theo, tính độ dài của \(\overrightarrow{u} = (m, m-1, 4)\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{m^2 + (m-1)^2 + 4^2} = \sqrt{m^2 + (m^2 - 2m + 1) + 16} = \sqrt{2m^2 - 2m + 17}. \] Để \(|\overrightarrow{u}| = AB\), ta có phương trình: \[ \sqrt{2m^2 - 2m + 17} = 2\sqrt{6}. \] Bình phương hai vế, ta được: \[ 2m^2 - 2m + 17 = 24. \] Giải phương trình: \[ 2m^2 - 2m + 17 = 24 \implies 2m^2 - 2m - 7 = 0. \] Chia cả hai vế cho 2: \[ m^2 - m - \frac{7}{2} = 0. \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 14}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{15}}{2}. \] Có hai nghiệm phân biệt, do đó mệnh đề này là đúng. Mệnh đề d) Giả sử có điểm \(M(a;b;c)\in(Oxz)\) thỏa mãn \(MA^2 + MB^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(a^2 + b^2 + c^3 = 10\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxz\) nên \(b = 0\). Tọa độ của \(M\) là \((a, 0, c)\). Tính \(MA^2\) và \(MB^2\): \[ MA^2 = (a - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (c - 3)^2 = a^2 + 4 + (c - 3)^2, \] \[ MB^2 = (a - 2)^2 + (0 + 2)^2 + (c - 1)^2 = (a - 2)^2 + 4 + (c - 1)^2. \] Tổng \(MA^2 + MB^2\): \[ MA^2 + MB^2 = a^2 + 4 + (c - 3)^2 + (a - 2)^2 + 4 + (c - 1)^2. \] Rút gọn: \[ = a^2 + (a^2 - 4a + 4) + (c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 2c + 1) + 8. \] \[ = 2a^2 - 4a + 2c^2 - 8c + 26. \] Để \(MA^2 + MB^2\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này. Tuy nhiên, mệnh đề yêu cầu tính \(a^2 + b^2 + c^3\) mà \(b = 0\), nên ta cần kiểm tra lại điều kiện này. Vì không có thông tin cụ thể về giá trị nhỏ nhất của \(MA^2 + MB^2\) và không có cách nào để liên hệ trực tiếp với \(a^2 + b^2 + c^3 = 10\), mệnh đề này không thể được xác định là đúng hay sai chỉ dựa trên thông tin đã cho. Do đó, mệnh đề này là không xác định. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ điểm \( A' \) là hình chiếu của \( A \) lên trục \( Ox \). Điểm \( A(-1; 2; 0) \) có tọa độ trên trục \( Ox \) là \(-1\). Khi chiếu điểm \( A \) lên trục \( Ox \), chúng ta giữ nguyên hoành độ và đặt tung độ và cao độ bằng 0. Do đó, tọa độ của \( A' \) là: \[ A'(-1; 0; 0) \] b) Tìm độ dài \( BB' \) khi \( B' \) là điểm đối xứng với \( B \) qua trục \( Oy \). Điểm \( B(3; 1; 2) \) có tọa độ đối xứng qua trục \( Oy \) là \( B' \). Khi đối xứng qua trục \( Oy \), tung độ giữ nguyên, còn hoành độ và cao độ đổi dấu. Do đó, tọa độ của \( B' \) là: \[ B'(-3; 1; -2) \] Bây giờ, chúng ta tính độ dài đoạn thẳng \( BB' \) bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ BB' = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với \( B(3; 1; 2) \) và \( B'(-3; 1; -2) \), ta có: \[ BB' = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (1 - 1)^2 + (-2 - 2)^2} \] \[ = \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + (-4)^2} \] \[ = \sqrt{36 + 0 + 16} \] \[ = \sqrt{52} \] \[ = 2\sqrt{13} \] Vậy độ dài \( BB' \) là \( 2\sqrt{13} \).