giải giúp hhh

Câu 1: Để tính độ dài của vector \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính vector \(\overrightarrow{v}\): Đầu tiên, ta cần tính \(2\overrightarrow{a}\) và \(-\overrightarrow{b}\). \[ 2\overrightarrow{a} = 2(2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}) = 4\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \] \[ -\overrightarrow{b} = -(4\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}) = -4\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} \] Bây giờ, ta cộng hai vector này để tìm \(\overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{v} = 4\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} - 4\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} - \overrightarrow{k} = -4\overrightarrow{i} + (4 - 1)\overrightarrow{j} + (-6 - 1)\overrightarrow{k} \] \[ \overrightarrow{v} = -4\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - 7\overrightarrow{k} \] 2. Tính độ dài của vector \(\overrightarrow{v}\): Độ dài của vector \(\overrightarrow{v} = -4\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - 7\overrightarrow{k}\) được tính bằng công thức: \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + (-7)^2} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{16 + 9 + 49} \] \[ \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{74} \] Vậy, độ dài của vector \(\overrightarrow{v}\) là \(\sqrt{74}\). Do đó, đáp án đúng là \(\boxed{\textcircled{A}~\sqrt{74}}\). Câu 2: Để ba điểm \( A(2; -1; 5) \), \( B(5; -5; 7) \), và \( M(x; y; 1) \) thẳng hàng, vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AM}\) phải cùng phương. Trước tiên, ta tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (5 - 2, -5 + 1, 7 - 5) = (3, -4, 2) \] Tiếp theo, ta tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (x - 2, y + 1, 1 - 5) = (x - 2, y + 1, -4) \] Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực \(k\) sao cho: \[ (x - 2, y + 1, -4) = k(3, -4, 2) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = 3k \\ y + 1 = -4k \\ -4 = 2k \end{cases} \] Giải phương trình thứ ba để tìm \(k\): \[ -4 = 2k \implies k = -2 \] Thay \(k = -2\) vào hai phương trình đầu: \[ x - 2 = 3(-2) \implies x - 2 = -6 \implies x = -4 \] \[ y + 1 = -4(-2) \implies y + 1 = 8 \implies y = 7 \] Vậy giá trị của \(x\) và \(y\) là \(x = -4\) và \(y = 7\). Đáp án đúng là \(B.~x = -4; y = 7.\) Câu 3: Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) hoặc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Trước tiên, ta tính \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -1 - 2, 3 - (-1)) = (1, -3, 4) \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\). 1. Đáp án A: \(D(-2, 2, 5)\) Tính \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{CD} = (-2 - (-3), 2 - 5, 5 - 1) = (1, -3, 4) \] Ta thấy \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\), do đó \(D(-2, 2, 5)\) thỏa mãn điều kiện để \(ABCD\) là hình bình hành. 2. Đáp án B: \(D(-4, 8, -5)\) Tính \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{CD} = (-4 - (-3), 8 - 5, -5 - 1) = (-1, 3, -6) \] \(\overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AB}\), do đó \(D(-4, 8, -5)\) không thỏa mãn. 3. Đáp án C: \(D(-4, 8, -3)\) Tính \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{CD} = (-4 - (-3), 8 - 5, -3 - 1) = (-1, 3, -4) \] \(\overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AB}\), do đó \(D(-4, 8, -3)\) không thỏa mãn. 4. Đáp án D: \(D(-2, 8, -3)\) Tính \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{CD} = (-2 - (-3), 8 - 5, -3 - 1) = (1, 3, -4) \] \(\overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AB}\), do đó \(D(-2, 8, -3)\) không thỏa mãn. Kết luận: Tọa độ điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là \(\boxed{(-2, 2, 5)}\). Câu 4: Để tìm tọa độ của điểm \( G \) thỏa mãn \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\), ta có thể sử dụng công thức trọng tâm của tứ diện. Điểm \( G \) là trọng tâm của tứ diện \( ABCD \), và tọa độ của \( G \) được tính bằng trung bình cộng tọa độ của các đỉnh \( A, B, C, D \). Công thức tính tọa độ trọng tâm \( G(x_G, y_G, z_G) \) của tứ diện \( ABCD \) là: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4} \] \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4} \] \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4} \] Thay tọa độ của các điểm \( A(1;-4;2), B(2;1;-3), C(3;0;-2), D(2;-5;-1) \) vào công thức trên, ta có: \[ x_G = \frac{1 + 2 + 3 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ y_G = \frac{-4 + 1 + 0 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] \[ z_G = \frac{2 - 3 - 2 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Vậy tọa độ của điểm \( G \) là \( (2; -2; -1) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~G(2;-2;-1) \). Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của các điểm \(B\) và \(C\). Biết rằng trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ \((2, 1, -3)\), ta có công thức trọng tâm: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = (2, 1, -3) \] Với \(A(1, -1, -2)\), ta thay vào công thức trọng tâm: 1. \(\frac{1 + x_B + x_C}{3} = 2 \Rightarrow 1 + x_B + x_C = 6 \Rightarrow x_B + x_C = 5\) 2. \(\frac{-1 + y_B + y_C}{3} = 1 \Rightarrow -1 + y_B + y_C = 3 \Rightarrow y_B + y_C = 4\) 3. \(\frac{-2 + z_B + z_C}{3} = -3 \Rightarrow -2 + z_B + z_C = -9 \Rightarrow z_B + z_C = -7\) Bây giờ, ta cần tìm \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\): - \(\overrightarrow{AB} = (x_B - 1, y_B + 1, z_B + 2)\) - \(\overrightarrow{AC} = (x_C - 1, y_C + 1, z_C + 2)\) Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = ((x_B - 1) + (x_C - 1), (y_B + 1) + (y_C + 1), (z_B + 2) + (z_C + 2)) \] \[ = (x_B + x_C - 2, y_B + y_C + 2, z_B + z_C + 4) \] Thay các giá trị đã tìm được: - \(x_B + x_C = 5\) nên \(x_B + x_C - 2 = 5 - 2 = 3\) - \(y_B + y_C = 4\) nên \(y_B + y_C + 2 = 4 + 2 = 6\) - \(z_B + z_C = -7\) nên \(z_B + z_C + 4 = -7 + 4 = -3\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) là \((3, 6, -3)\). Do đó, đáp án đúng là \(\boxed{B}\). Câu 6: Để tìm tọa độ điểm \( I \) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{IA}\) và \(\overrightarrow{IB}\): - Vectơ \(\overrightarrow{IA} = (1 - x; 2 - y; -1 - z)\). - Vectơ \(\overrightarrow{IB} = (2 - x; -1 - y; 3 - z)\). 2. Thiết lập phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ vào phương trình: \[ (1 - x; 2 - y; -1 - z) + 2(2 - x; -1 - y; 3 - z) = (0; 0; 0) \] 3. Giải hệ phương trình: - Thành phần \(x\): \[ 1 - x + 2(2 - x) = 0 \implies 1 - x + 4 - 2x = 0 \implies 5 - 3x = 0 \implies x = \frac{5}{3} \] - Thành phần \(y\): \[ 2 - y + 2(-1 - y) = 0 \implies 2 - y - 2 - 2y = 0 \implies -3y = 0 \implies y = 0 \] - Thành phần \(z\): \[ -1 - z + 2(3 - z) = 0 \implies -1 - z + 6 - 2z = 0 \implies 5 - 3z = 0 \implies z = \frac{5}{3} \] 4. Kết luận: Tọa độ điểm \( I \) là \(\left(\frac{5}{3}; 0; \frac{5}{3}\right)\). Vậy đáp án đúng là \( A. I\left(-\frac{5}{3}; 0; \frac{5}{3}\right) \). Câu 7: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \), trước tiên ta cần tìm tọa độ của các điểm \( A, B, C \). Theo đề bài, ta có phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \] Giả sử tọa độ của các điểm \( A, B, C \) lần lượt là \( A(x_1, y_1, z_1) \), \( B(x_2, y_2, z_2) \), \( C(x_3, y_3, z_3) \). Khi đó, ta có: \[ \overrightarrow{AE} = (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) \] \[ \overrightarrow{BF} = (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) \] \[ \overrightarrow{CK} = (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) \] Phương trình vectơ trở thành: \[ (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) + (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) + (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) = (0, 0, 0) \] Tách thành các phương trình theo từng trục tọa độ, ta có: 1. Trục \( x \): \( 1 - x_1 - x_2 + 2 - x_3 = 0 \) hay \( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \) 2. Trục \( y \): \( 3 - y_1 - 1 - y_2 + 4 - y_3 = 0 \) hay \( y_1 + y_2 + y_3 = 6 \) 3. Trục \( z \): \( 2 - z_1 + 5 - z_2 - 1 - z_3 = 0 \) hay \( z_1 + z_2 + z_3 = 6 \) Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Thay các giá trị đã tìm được vào, ta có: \[ G\left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}\right) = (1, 2, 2) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là \( (1, 2, 2) \). Đáp án đúng là: \( A. G(1; 2; 2) \). Câu 8: Để tìm tọa độ điểm \( Q \), ta cần sử dụng thông tin về các vectơ và điểm đã cho. 1. Tìm tọa độ điểm \( R \): Vì \( M(1;-2;2) \) là trung điểm của đoạn \( OR \), nên ta có: \[ \begin{cases} \frac{0 + x_R}{2} = 1 \\ \frac{0 + y_R}{2} = -2 \\ \frac{0 + z_R}{2} = 2 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x_R = 2 \\ y_R = -4 \\ z_R = 4 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm \( R \) là \( (2; -4; 4) \). 2. Tìm tọa độ điểm \( P \): Từ vectơ \( \overrightarrow{PR} = (-2; -1; 0) \), ta có: \[ \begin{cases} x_R - x_P = -2 \\ y_R - y_P = -1 \\ z_R - z_P = 0 \end{cases} \] Thay tọa độ của \( R \) vào, ta có: \[ \begin{cases} 2 - x_P = -2 \\ -4 - y_P = -1 \\ 4 - z_P = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x_P = 4 \\ y_P = -3 \\ z_P = 4 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm \( P \) là \( (4; -3; 4) \). 3. Tìm tọa độ điểm \( Q \): Từ vectơ \( \overrightarrow{PQ} = (0; 1; -2) \), ta có: \[ \begin{cases} x_Q - x_P = 0 \\ y_Q - y_P = 1 \\ z_Q - z_P = -2 \end{cases} \] Thay tọa độ của \( P \) vào, ta có: \[ \begin{cases} x_Q - 4 = 0 \\ y_Q + 3 = 1 \\ z_Q - 4 = -2 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x_Q = 4 \\ y_Q = -2 \\ z_Q = 2 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm \( Q \) là \( (4; -2; 2) \). Tuy nhiên, không có đáp án nào trong các lựa chọn trùng với kết quả này. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Vui lòng kiểm tra lại thông tin đề bài hoặc đáp án. Câu 9: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \), trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm \( M \) và \( N \). 1. Tìm tọa độ điểm \( M \): Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Tọa độ của \( M \) được tính theo công thức trung điểm: \[ M\left(x_M, y_M, z_M\right) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) \] Với \( A(2, 0, 0) \) và \( B(0, 2, 0) \), ta có: \[ x_M = \frac{2 + 0}{2} = 1, \quad y_M = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad z_M = \frac{0 + 0}{2} = 0 \] Vậy, tọa độ của \( M \) là \( M(1, 1, 0) \). 2. Tìm tọa độ điểm \( N \): Điểm \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \). Tọa độ của \( N \) được tính theo công thức trung điểm: \[ N\left(x_N, y_N, z_N\right) = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}, \frac{z_C + z_D}{2}\right) \] Với \( C(0, 0, 2) \) và \( D(2, 2, 2) \), ta có: \[ x_N = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad y_N = \frac{0 + 2}{2} = 1, \quad z_N = \frac{2 + 2}{2} = 2 \] Vậy, tọa độ của \( N \) là \( N(1, 1, 2) \). 3. Tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \): Tọa độ của \( I \) được tính theo công thức trung điểm: \[ I\left(x_I, y_I, z_I\right) = \left(\frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}, \frac{z_M + z_N}{2}\right) \] Với \( M(1, 1, 0) \) và \( N(1, 1, 2) \), ta có: \[ x_I = \frac{1 + 1}{2} = 1, \quad y_I = \frac{1 + 1}{2} = 1, \quad z_I = \frac{0 + 2}{2} = 1 \] Vậy, tọa độ của trung điểm \( I \) là \( I(1, 1, 1) \).