giải nhanh

Để giải bài toán này, ta cần tìm số giá trị của tham số \( m \) sao cho có ít nhất 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + (m^2 + 17)x - 32 + m \) vuông góc với nhau. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y \) là: \[ y' = x^2 - 2x + (m^2 + 17) \] Bước 2: Điều kiện để hai tiếp tuyến vuông góc Hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với nhau khi tích hệ số góc của chúng bằng \(-1\). Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai điểm tiếp xúc, khi đó: \[ y'(x_1) \cdot y'(x_2) = -1 \] Thay vào biểu thức của \( y' \), ta có: \[ (x_1^2 - 2x_1 + m^2 + 17)(x_2^2 - 2x_2 + m^2 + 17) = -1 \] Bước 3: Phân tích điều kiện Để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc, phương trình trên phải có ít nhất một cặp nghiệm \( (x_1, x_2) \). Bước 4: Tìm điều kiện cho \( m \) Ta cần tìm điều kiện để phương trình: \[ (x_1^2 - 2x_1 + m^2 + 17)(x_2^2 - 2x_2 + m^2 + 17) = -1 \] có nghiệm. Đặt \( a = x^2 - 2x + m^2 + 17 \), ta có: \[ a^2 = -1 \] Điều này không thể xảy ra vì \( a^2 \geq 0 \) với mọi \( a \). Do đó, ta cần tìm điều kiện khác để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc. Xét trường hợp đặc biệt khi \( x_1 = x_2 \), tức là: \[ (x^2 - 2x + m^2 + 17)^2 = -1 \] Điều này cũng không thể xảy ra. Bước 5: Kết luận Vì không tồn tại giá trị \( m \) nào thỏa mãn điều kiện để có ít nhất 2 tiếp tuyến vuông góc, nên không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy, không có giá trị nào của \( m \) để có ít nhất 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với nhau.