Giải nhanh

Để tìm đường kính của đường tròn (C), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng MN: - Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) là: \[ I\left(\frac{-2 + (-1)}{2}; \frac{-1 + (-4)}{2}\right) = I\left(-\frac{3}{2}; -\frac{5}{2}\right) \] - Hệ số góc của đường thẳng \(MN\) là: \[ k = \frac{-4 - (-1)}{-1 - (-2)} = \frac{-3}{1} = -3 \] - Hệ số góc của đường trung trực (vuông góc với \(MN\)) là: \[ k' = \frac{1}{3} \] - Phương trình đường trung trực của \(MN\) đi qua \(I\left(-\frac{3}{2}; -\frac{5}{2}\right)\) là: \[ y + \frac{5}{2} = \frac{1}{3}\left(x + \frac{3}{2}\right) \] \[ 3y + 15 = x + 3 \] \[ x - 3y - 12 = 0 \] 2. Tìm tọa độ tâm \(O(a; b)\) của đường tròn (C): - Tâm \(O\) thuộc đường thẳng \(x - 2y - 5 = 0\), nên: \[ a - 2b - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2b + 5 \] - Tâm \(O\) cũng thuộc đường trung trực của \(MN\), nên: \[ a - 3b - 12 = 0 \] - Thay \(a = 2b + 5\) vào phương trình trên: \[ 2b + 5 - 3b - 12 = 0 \] \[ -b - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -7 \] - Thay \(b = -7\) vào \(a = 2b + 5\): \[ a = 2(-7) + 5 = -14 + 5 = -9 \] - Vậy tọa độ tâm \(O\) là \((-9; -7)\). 3. Tính đường kính của đường tròn (C): - Đường kính của đường tròn là độ dài đoạn thẳng \(MN\): \[ MN = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] - Đường kính của đường tròn (C) là \(2 \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}\). Vậy đường kính của đường tròn (C) là \(2\sqrt{10}\). Câu 28: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(7, 1, 4) \) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho biểu thức \( T = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng (P) Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 7x + by + cz + d = 0 \] Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(7, 1, 4) \), ta có: \[ 7 \cdot 7 + b \cdot 1 + c \cdot 4 + d = 0 \] \[ 49 + b + 4c + d = 0 \] \[ b + 4c + d = -49 \quad (1) \] Bước 2: Tìm tọa độ các điểm A, B, C - Điểm A nằm trên trục Ox, nên có dạng \( A(a, 0, 0) \). Thay vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: \[ 7a + d = 0 \] \[ a = -\frac{d}{7} \] - Điểm B nằm trên trục Oy, nên có dạng \( B(0, b, 0) \). Thay vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: \[ b \cdot b + d = 0 \] \[ b = -\frac{d}{b} \] - Điểm C nằm trên trục Oz, nên có dạng \( C(0, 0, c) \). Thay vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: \[ c \cdot c + d = 0 \] \[ c = -\frac{d}{c} \] Bước 3: Tính biểu thức T Biểu thức \( T \) được cho bởi: \[ T = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \] Thay các giá trị của \( a, b, c \) vào, ta có: \[ T = \frac{49}{d^2} + \frac{b^2}{d^2} + \frac{c^2}{d^2} = \frac{49 + b^2 + c^2}{d^2} \] Bước 4: Tối thiểu hóa T Để \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, tử số \( 49 + b^2 + c^2 \) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Từ phương trình (1), ta có: \[ b + 4c + d = -49 \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( b^2 + c^2 \), ta có: \[ (b^2 + c^2) \geq \frac{(b + 4c)^2}{1^2 + 4^2} = \frac{(b + 4c)^2}{17} \] Thay vào, ta có: \[ 49 + b^2 + c^2 \geq 49 + \frac{(-49 - d)^2}{17} \] Để tối thiểu hóa \( T \), ta cần tối thiểu hóa \( 49 + \frac{(-49 - d)^2}{17} \). Bước 5: Tìm giá trị của \( b + c + d \) Khi \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta có: \[ b + 4c + d = -49 \] \[ b + c + d = -61 \] Vậy, giá trị của \( b + c + d \) là \(-61\). Do đó, đáp án đúng là B. -61.