Giúp mình giải bài này

Câu 1: Để tìm tập hợp C.M của M, ta cần hiểu rằng C.M là ký hiệu cho phần bù của tập hợp M trong tập hợp số thực $\mathbb{R}$. Tập hợp M đã cho là: \[ M = \{ x \in \mathbb{R} | x > 2 \} \] Phần bù của M, ký hiệu là C.M, sẽ bao gồm tất cả các số thực mà không thuộc M. Điều này có nghĩa là các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 2. Do đó, tập hợp C.M là: \[ C.M = (-\infty; 2] \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-\infty;2] \] Câu 2: Để kiểm tra từng cặp số, ta thay chúng vào bất phương trình $x - 4y + 5 \leq 0$ và xem liệu bất phương trình có đúng hay không. 1. Kiểm tra cặp $A. (-2; 1)$: Thay $x = -2$ và $y = 1$ vào bất phương trình: \[ -2 - 4(1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1 \leq 0 \] Bất phương trình đúng. 2. Kiểm tra cặp $B. (0; 2)$: Thay $x = 0$ và $y = 2$ vào bất phương trình: \[ 0 - 4(2) + 5 = 0 - 8 + 5 = -3 \leq 0 \] Bất phương trình đúng. 3. Kiểm tra cặp $C. (1; -3)$: Thay $x = 1$ và $y = -3$ vào bất phương trình: \[ 1 - 4(-3) + 5 = 1 + 12 + 5 = 18 \not\leq 0 \] Bất phương trình sai. 4. Kiểm tra cặp $D. (-5; 0)$: Thay $x = -5$ và $y = 0$ vào bất phương trình: \[ -5 - 4(0) + 5 = -5 + 5 = 0 \leq 0 \] Bất phương trình đúng. Như vậy, cặp số $(1; -3)$ không là nghiệm của bất phương trình $x - 4y + 5 \leq 0$. Đáp án: $C. (1; -3)$. Câu 3: Để tính số đo góc $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$ với các cạnh $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 8$, ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác $ABC$ có dạng: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong đó, $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc $A$, $B$, $C$. Để tìm góc $\widehat{A}$, ta áp dụng định lý cosin cho cạnh $BC = 7$ đối diện với góc $\widehat{A}$: \[ BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos A \] \[ 49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos A \] \[ 49 = 89 - 80 \cdot \cos A \] \[ 80 \cdot \cos A = 89 - 49 \] \[ 80 \cdot \cos A = 40 \] \[ \cos A = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \] Góc $A$ có $\cos A = \frac{1}{2}$, điều này xảy ra khi góc $A = 60^\circ$. Vậy, số đo góc $\widehat{A}$ là $60^\circ$. Do đó, đáp án đúng là: C. $A = 60^\circ$. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần hiểu rõ ý nghĩa của trung điểm và các vectơ liên quan. Giả sử \( A \) và \( B \) là hai điểm trên mặt phẳng, và \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} \] Điều này xuất phát từ định nghĩa của trung điểm: trung điểm là điểm nằm giữa hai điểm khác sao cho khoảng cách từ trung điểm đến hai điểm đó là bằng nhau. Trong ngôn ngữ vectơ, điều này có nghĩa là vectơ từ trung điểm đến hai đầu mút của đoạn thẳng là bằng nhau về độ dài và hướng. Bây giờ, ta sẽ xem xét từng đẳng thức trong các lựa chọn: A. \( IA = -IB \): Điều này không đúng vì độ dài của \( IA \) và \( IB \) phải bằng nhau và không thể có dấu âm. B. \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI} \): Điều này không đúng vì \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{BI} \) có cùng độ dài nhưng ngược hướng. C. \( \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} \): Điều này đúng vì như đã giải thích, trung điểm có nghĩa là vectơ từ trung điểm đến hai đầu mút của đoạn thẳng là bằng nhau. D. \( \overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{IB} \): Điều này không đúng vì \( \overrightarrow{IA} \) và \( \overrightarrow{IB} \) có cùng hướng và độ dài. Vậy, đẳng thức đúng là: C. \( \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB} \). Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích phương trình vectơ: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Ta có thể viết lại phương trình này như sau: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC} \] Điều này có nghĩa là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\) bằng vectơ \(\overrightarrow{MC}\). Bây giờ, ta sẽ phân tích ý nghĩa hình học của phương trình này. Giả sử điểm \(M\) là đỉnh thứ tư của một hình bình hành. Khi đó, theo tính chất của hình bình hành, tổng của hai vectơ từ một đỉnh đến hai đỉnh kề nhau sẽ bằng vectơ từ đỉnh đó đến đỉnh đối diện. Trong trường hợp này, nếu \(M\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận \(A\) và \(B\) làm hai đỉnh kề nhau, thì: - \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\) là hai cạnh kề của hình bình hành. - \(\overrightarrow{MC}\) là đường chéo của hình bình hành. Do đó, phương trình \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}\) cho thấy \(M\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận \(A\) và \(B\) làm hai đỉnh kề nhau, và \(C\) là đỉnh đối diện với \(M\). Vậy, điểm \(M\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận \(AB\) và \(BC\) làm hai cạnh. Đáp án đúng là: C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận \(AB\) và \(BC\) làm hai cạnh. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các vectơ đã cho và tìm mối quan hệ giữa chúng. Ta có $\overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AC}$. Điều này có nghĩa là vectơ $\overrightarrow{AB}$ có cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AC}$ nhưng ngược chiều và có độ dài gấp 3 lần độ dài của $\overrightarrow{AC}$. Ta cần tìm biểu thức của $\overrightarrow{BC}$ theo $\overrightarrow{AC}$. Theo định nghĩa của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \] Và từ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, ta có: \[ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} \] Thay vào biểu thức của $\overrightarrow{BC}$, ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) \] \[ = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{AB} \] \[ = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Thay $\overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AC}$ vào, ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - (-3\overrightarrow{AC}) \] \[ = \overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AC} \] \[ = 4\overrightarrow{AC} \] Vậy, đẳng thức đúng là $\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{AC}$. Do đó, đáp án đúng là D. $\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{AC}$. Câu 7: Để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng nhau, tức là \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\), thì các thành phần tương ứng của chúng phải bằng nhau. Cụ thể, ta có: \[ \overrightarrow{a} = (x+1; y+2) \] \[ \overrightarrow{b} = (1; 3) \] Để \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\), ta cần: 1. Thành phần thứ nhất của \(\overrightarrow{a}\) bằng thành phần thứ nhất của \(\overrightarrow{b}\): \[ x + 1 = 1 \] 2. Thành phần thứ hai của \(\overrightarrow{a}\) bằng thành phần thứ hai của \(\overrightarrow{b}\): \[ y + 2 = 3 \] Giải từng phương trình: 1. Từ phương trình \(x + 1 = 1\), ta có: \[ x = 1 - 1 = 0 \] 2. Từ phương trình \(y + 2 = 3\), ta có: \[ y = 3 - 2 = 1 \] Vậy, \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}\) khi và chỉ khi \(x = 0\) và \(y = 1\).