giải chi tiết các câu này giúp mình với

Câu 2: Để tìm thời điểm \( t \) mà số vi khuẩn \( N(t) \) đạt giá trị lớn nhất trong khoảng \( 0 \leq t \leq 30 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N(t) = 1000 + 30t^2 - t^3 \] Đạo hàm \( N(t) \) theo \( t \): \[ N'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 30t^2 - t^3) = 60t - 3t^2 \] 2. Giải phương trình \( N'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 60t - 3t^2 = 0 \] \[ 3t(20 - t) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 20 \] 3. Kiểm tra giá trị của \( N(t) \) tại các điểm dừng và tại biên của khoảng \( [0, 30] \): - Tại \( t = 0 \): \[ N(0) = 1000 + 30(0)^2 - (0)^3 = 1000 \] - Tại \( t = 20 \): \[ N(20) = 1000 + 30(20)^2 - (20)^3 = 1000 + 30 \cdot 400 - 8000 = 1000 + 12000 - 8000 = 5000 \] - Tại \( t = 30 \): \[ N(30) = 1000 + 30(30)^2 - (30)^3 = 1000 + 30 \cdot 900 - 27000 = 1000 + 27000 - 27000 = 1000 \] 4. So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất: - \( N(0) = 1000 \) - \( N(20) = 5000 \) - \( N(30) = 1000 \) Rõ ràng, giá trị lớn nhất của \( N(t) \) là 5000, đạt được khi \( t = 20 \). Do đó, sau 20 phút, số vi khuẩn đạt giá trị lớn nhất. Câu 3: Giả sử doanh nghiệp giảm giá bán sản phẩm X đi m lần 500 nghìn đồng, tức là giảm đi \( 0,5m \) triệu đồng. Khi đó giá bán sản phẩm X là \( 20 - 0,5m \) triệu đồng. Số lượng sản phẩm X bán ra trong một tháng sẽ tăng lên \( 200m \) sản phẩm, tức là tổng số sản phẩm X bán ra trong một tháng là \( 800 + 200m \). Doanh thu của doanh nghiệp trong một tháng là: \[ R(m) = (20 - 0,5m)(800 + 200m) \] Ta cần tìm giá trị của \( m \) để doanh thu \( R(m) \) đạt giá trị lớn nhất. Trước tiên, ta mở rộng biểu thức \( R(m) \): \[ R(m) = (20 - 0,5m)(800 + 200m) \] \[ R(m) = 20 \cdot 800 + 20 \cdot 200m - 0,5m \cdot 800 - 0,5m \cdot 200m \] \[ R(m) = 16000 + 4000m - 400m - 100m^2 \] \[ R(m) = 16000 + 3600m - 100m^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( R(m) \), ta lấy đạo hàm của \( R(m) \) theo \( m \) và đặt bằng 0: \[ R'(m) = 3600 - 200m \] \[ 3600 - 200m = 0 \] \[ 200m = 3600 \] \[ m = 18 \] Ta kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định đây là điểm cực đại: \[ R''(m) = -200 \] Vì \( R''(m) < 0 \), nên \( m = 18 \) là điểm cực đại. Vậy, giá bán sản phẩm X để doanh thu là lớn nhất là: \[ 20 - 0,5 \cdot 18 = 20 - 9 = 11 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 11 triệu đồng. Câu 4: Áp dụng công thức \( F = m \cdot a \) Ta có: - Khối lượng \( m = 0,5 \) kg - Gia tốc \( a = 60 \) m/s² Do đó, lực cần thiết để truyền cho quả bóng một gia tốc \( 60 \) m/s² là: \[ F = 0,5 \cdot 60 = 30 \text{ N} \] Vậy, cần một lực đá có độ lớn là 30 N. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của ba chiếc Flycam trong không gian ba chiều và sau đó tính góc giữa hai vectơ vị trí của Flycam thứ nhất và thứ hai so với Flycam thứ ba. Bước 1: Xác định tọa độ của các Flycam - Flycam thứ nhất: Cách điểm xuất phát 100m về phía bắc, 200m về phía tây và 50m so với mặt đất. Tọa độ là \((-200, 100, 50)\). - Flycam thứ hai: Cách điểm xuất phát 300m về phía nam, 200m về phía đông và 100m so với mặt đất. Tọa độ là \((200, -300, 100)\). - Flycam thứ ba: Cách điểm xuất phát 150m về phía đông, 100m về phía bắc và 50m so với mặt đất. Tọa độ là \((150, 100, 50)\). Bước 2: Tính vectơ vị trí của Flycam thứ nhất và thứ hai so với Flycam thứ ba - Vectơ từ Flycam thứ ba đến Flycam thứ nhất: \[ \overrightarrow{A_3A_1} = (-200 - 150, 100 - 100, 50 - 50) = (-350, 0, 0) \] - Vectơ từ Flycam thứ ba đến Flycam thứ hai: \[ \overrightarrow{A_3A_2} = (200 - 150, -300 - 100, 100 - 50) = (50, -400, 50) \] Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{A_3A_1}\) và \(\overrightarrow{A_3A_2}\) được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A_3A_1} \cdot \overrightarrow{A_3A_2}}{\|\overrightarrow{A_3A_1}\| \cdot \|\overrightarrow{A_3A_2}\|} \] - Tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{A_3A_1} \cdot \overrightarrow{A_3A_2} = (-350) \cdot 50 + 0 \cdot (-400) + 0 \cdot 50 = -17500 \] - Độ dài của \(\overrightarrow{A_3A_1}\): \[ \|\overrightarrow{A_3A_1}\| = \sqrt{(-350)^2 + 0^2 + 0^2} = 350 \] - Độ dài của \(\overrightarrow{A_3A_2}\): \[ \|\overrightarrow{A_3A_2}\| = \sqrt{50^2 + (-400)^2 + 50^2} = \sqrt{2500 + 160000 + 2500} = \sqrt{165000} = 10\sqrt{165} \] - Tính \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{-17500}{350 \cdot 10\sqrt{165}} = \frac{-17500}{3500\sqrt{165}} = \frac{-5}{\sqrt{165}} \] - Tính \(\theta\) (góc a): \[ \theta = \arccos\left(\frac{-5}{\sqrt{165}}\right) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\theta\), ta được: \[ \theta \approx 101.5^\circ \] Vậy, góc \(a\) giữa vị trí của hai chiếc Flycam thứ nhất và thứ hai với vị trí của chiếc thứ ba là khoảng \(101.5^\circ\). Câu 6: Để tính phương sai của thời gian sử dụng pin, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dữ liệu từ biểu đồ: - Thời gian 7,2 giờ: 2 máy - Thời gian 7,4 giờ: 4 máy - Thời gian 7,6 giờ: 8 máy - Thời gian 7,8 giờ: 6 máy - Thời gian 8,0 giờ: 4 máy 2. Tính giá trị trung bình (mean) \(\bar{x}\): \[ \bar{x} = \frac{(7,2 \times 2) + (7,4 \times 4) + (7,6 \times 8) + (7,8 \times 6) + (8,0 \times 4)}{2 + 4 + 8 + 6 + 4} \] \[ \bar{x} = \frac{14,4 + 29,6 + 60,8 + 46,8 + 32}{24} \] \[ \bar{x} = \frac{184,6}{24} \approx 7,69 \] 3. Tính phương sai (variance) \(s^2\): \[ s^2 = \frac{(7,2 - 7,69)^2 \times 2 + (7,4 - 7,69)^2 \times 4 + (7,6 - 7,69)^2 \times 8 + (7,8 - 7,69)^2 \times 6 + (8,0 - 7,69)^2 \times 4}{24} \] \[ s^2 = \frac{(0,49)^2 \times 2 + (0,29)^2 \times 4 + (0,09)^2 \times 8 + (0,11)^2 \times 6 + (0,31)^2 \times 4}{24} \] \[ s^2 = \frac{0,2401 \times 2 + 0,0841 \times 4 + 0,0081 \times 8 + 0,0121 \times 6 + 0,0961 \times 4}{24} \] \[ s^2 = \frac{0,4802 + 0,3364 + 0,0648 + 0,0726 + 0,3844}{24} \] \[ s^2 = \frac{1,3384}{24} \approx 0,0558 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, phương sai là \(0,06\). Vậy, phương sai của thời gian sử dụng pin là \(0,06\).