cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng AM=1/2 AB

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ AM = \frac{1}{2} AB $ trong tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $, với $ M $ là trung điểm của $ BC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố trong tam giác:
   - Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ có cạnh $ AB $ và $ AC $ là hai cạnh góc vuông.
   - $ M $ là trung điểm của $ BC $, do đó $ BM = MC $.

2. Sử dụng định lý Pythagore:
   - Trong tam giác vuông $ ABC $, theo định lý Pythagore, ta có:
     $$
     BC^2 = AB^2 + AC^2
     $$

3. Tính độ dài $ AM $:
   - Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BM = MC = \frac{1}{2} BC $.
   - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ ABM $, ta có:
     $$
     AM^2 = AB^2 - BM^2
     $$
   - Thay $ BM = \frac{1}{2} BC $ vào, ta có:
     $$
     AM^2 = AB^2 - \left(\frac{1}{2} BC\right)^2
     $$
   - Thay $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $ vào, ta có:
     $$
     AM^2 = AB^2 - \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2)
     $$
   - Rút gọn biểu thức:
     $$
     AM^2 = \frac{3}{4} AB^2 - \frac{1}{4} AC^2
     $$

4. Chứng minh $ AM = \frac{1}{2} AB $:
   - Để chứng minh $ AM = \frac{1}{2} AB $, ta cần chứng minh:
     $$
     \frac{3}{4} AB^2 - \frac{1}{4} AC^2 = \left(\frac{1}{2} AB\right)^2
     $$
   - Tính $\left(\frac{1}{2} AB\right)^2$:
     $$
     \left(\frac{1}{2} AB\right)^2 = \frac{1}{4} AB^2
     $$
   - So sánh hai vế:
     $$
     \frac{3}{4} AB^2 - \frac{1}{4} AC^2 = \frac{1}{4} AB^2
     $$
   - Điều này đúng khi $ AC = 0 $, điều này không thể xảy ra trong tam giác vuông. Do đó, cách chứng minh này không đúng.

5. Kết luận:
   - Cách chứng minh trên không đúng, cần sử dụng phương pháp khác hoặc kiểm tra lại giả thiết và cách tiếp cận. Trong trường hợp này, có thể cần sử dụng các tính chất khác của tam giác vuông hoặc hình học để chứng minh.

Võ Tuấn · Answer

{"userId":5397237,"userName":"💚julie 🥑"}

Trên tia AM lấy điểm D bên mặt phẳng bờ BC không chứa A sao cho AM = MD

Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

AM = MD

góc AMB = góc DMC (đối đỉnh)

BM = MC

Suy ra tam giác AMB = tam giác DMC (c.g.c)

Suy ra: góc ABM = góc MCD (2 góc tương ứng), AB = DC (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

ABM = MCD

suy ra ABM + ACM = MCD + ACM

Mà tam giác ABC vuông tại A nên ABM + ACM =90 độ

Suy ra MCD + ACM =90 độ hay ACD = 90 độ

Xét tam giác ABC và tam giác ADC có:

AC chung

BAC = DCA = 90 độ

AB = CD (cmt)

nên tam giác ABC = tam giác ADC (c.g.c)

Suy ra AD = BC

Mà AM = 1/2 AD (do M là trung điểm)

nên AM = 1/2 BC (đpcm)