x^2-6xy +11y^2 +8x-24y+13

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. Biểu thức đã cho là: \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \) Bước 2: Chuyển đổi biểu thức về dạng dễ dàng nhận biết giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) lại với nhau. \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \) Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \): \( x^2 - 6xy + 8x \) Nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \): \( 11y^2 - 24y \) Còn lại: \( 13 \) Bước 3: Hoàn thiện bình phương cho các nhóm trên. Nhóm \( x \): \( x^2 - 6xy + 8x \) Ta sẽ thêm và bớt \( 9y^2 \) để hoàn thiện bình phương: \( x^2 - 6xy + 9y^2 - 9y^2 + 8x \) \( = (x - 3y)^2 - 9y^2 + 8x \) Nhóm \( y \): \( 11y^2 - 24y \) Ta sẽ thêm và bớt \( 144/44 \) để hoàn thiện bình phương: \( 11y^2 - 24y + \frac{144}{44} - \frac{144}{44} \) \( = 11(y^2 - \frac{24}{11}y + \frac{144}{484}) - \frac{144}{44} \) \( = 11(y - \frac{12}{11})^2 - \frac{144}{44} \) Bước 4: Kết hợp tất cả các phần lại với nhau. \( (x - 3y)^2 - 9y^2 + 8x + 11(y - \frac{12}{11})^2 - \frac{144}{44} + 13 \) Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ta thấy rằng \( (x - 3y)^2 \geq 0 \) và \( 11(y - \frac{12}{11})^2 \geq 0 \), do đó biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi cả hai bình phương đều bằng 0. \( (x - 3y)^2 = 0 \) và \( 11(y - \frac{12}{11})^2 = 0 \) Từ đây ta có: \( x - 3y = 0 \) và \( y - \frac{12}{11} = 0 \) Giải hệ phương trình này: \( x = 3y \) \( y = \frac{12}{11} \) Thay \( y = \frac{12}{11} \) vào \( x = 3y \): \( x = 3 \times \frac{12}{11} = \frac{36}{11} \) Bước 6: Thay \( x = \frac{36}{11} \) và \( y = \frac{12}{11} \) vào biểu thức ban đầu để kiểm tra giá trị nhỏ nhất. \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \) \( = (\frac{36}{11})^2 - 6 \times \frac{36}{11} \times \frac{12}{11} + 11 \times (\frac{12}{11})^2 + 8 \times \frac{36}{11} - 24 \times \frac{12}{11} + 13 \) Tính toán chi tiết: \( = \frac{1296}{121} - 6 \times \frac{432}{121} + 11 \times \frac{144}{121} + \frac{288}{11} - \frac{288}{11} + 13 \) \( = \frac{1296}{121} - \frac{2592}{121} + \frac{1584}{121} + 13 \) \( = \frac{1296 - 2592 + 1584}{121} + 13 \) \( = \frac{288}{121} + 13 \) \( = \frac{288}{121} + \frac{1573}{121} \) \( = \frac{1861}{121} \) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \) là \( \frac{1861}{121} \), đạt được khi \( x = \frac{36}{11} \) và \( y = \frac{12}{11} \).