tính giái trị nhỏ nhất của x^2-6xy +11y^2 +8x-24y+13=0

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \), chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng tổng bình phương. Bước 1: Ta viết lại biểu thức dưới dạng: \[ x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \] Bước 2: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ x^2 - 6xy + 9y^2 + 2y^2 + 8x - 24y + 13 \] Bước 3: Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) có thể viết thành \( (x - 3y)^2 \): \[ (x - 3y)^2 + 2y^2 + 8x - 24y + 13 \] Bước 4: Ta tiếp tục biến đổi phần còn lại: \[ (x - 3y)^2 + 2(y^2 - 12y) + 8x + 13 \] Bước 5: Ta hoàn chỉnh bình phương cho \( y^2 - 12y \): \[ y^2 - 12y = (y - 6)^2 - 36 \] \[ 2(y^2 - 12y) = 2((y - 6)^2 - 36) = 2(y - 6)^2 - 72 \] Bước 6: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ (x - 3y)^2 + 2(y - 6)^2 - 72 + 8x + 13 \] Bước 7: Ta tiếp tục biến đổi phần còn lại: \[ (x - 3y)^2 + 2(y - 6)^2 + 8x - 59 \] Bước 8: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \): \[ (x - 3y)^2 + 2(y - 6)^2 + 8(x - 7.375) + 59.0 \] Bước 9: Ta nhận thấy rằng \( 8(x - 7.375) \) có thể viết thành \( 8(x - 7.375) \): \[ (x - 3y)^2 + 2(y - 6)^2 + 8(x - 7.375) + 59.0 \] Bước 10: Ta kết luận rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức xảy ra khi \( (x - 3y)^2 = 0 \) và \( 2(y - 6)^2 = 0 \): \[ x - 3y = 0 \] \[ y - 6 = 0 \] Bước 11: Giải hệ phương trình: \[ x = 3y \] \[ y = 6 \] Bước 12: Thay \( y = 6 \) vào \( x = 3y \): \[ x = 3 \times 6 = 18 \] Bước 13: Thay \( x = 18 \) và \( y = 6 \) vào biểu thức ban đầu: \[ (18 - 3 \times 6)^2 + 2(6 - 6)^2 + 8(18 - 7.375) + 59.0 \] \[ = 0 + 0 + 8 \times 10.625 + 59.0 \] \[ = 85 + 59.0 \] \[ = 144 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 - 6xy + 11y^2 + 8x - 24y + 13 \) là 144, đạt được khi \( x = 18 \) và \( y = 6 \).