CM $D=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$ không phải là số chính phương với mọi $n$ ∈ $N$*.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

$D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$$$D = [n(n + 3)] \cdot [(n + 1)(n + 2)]$$

$$D = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)$$

Đặt $t = n^2 + 3n$ (với $n \in \mathbb{N}^*$ thì $t > 0$), biểu thức trở thành:

$$D = t(t + 2) = t^2 + 2t$$

Ta xét hai số chính phương liên tiếp gần với $t^2 + 2t$ nhất, đó là $t^2$ và $(t + 1)^2$.

Vì $n \in \mathbb{N}^* \implies t = n^2 + 3n > 0$, nên: $$t^2 + 2t > t^2$$

Hay $D > t^2$ (1)

Ta có: $(t + 1)^2 = t^2 + 2t + 1$.

Rõ ràng: $t^2 + 2t < t^2 + 2t + 1$

Hay $D < (t + 1)^2$ (2)

Từ (1) và (2), ta có:$$t^2 < D < (t + 1)^2$$

Vì $D$ bị kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp là $t^2$ và $(t + 1)^2$ nên $D$ không thể là một số chính phương.

Timi · Answer

Ta có:
$ D = n(n+1)(n+2)(n+3) $

Nhận thấy rằng $ n, n+1, n+2, n+3 $ là bốn số tự nhiên liên tiếp. Trong bốn số này luôn tồn tại ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 4. Do đó, tích của chúng luôn chia hết cho 8.

Mặt khác, trong bốn số tự nhiên liên tiếp cũng luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, tích của chúng luôn chia hết cho 3.

Vậy $ D $ luôn chia hết cho 24.

Giả sử $ D $ là số chính phương. Khi đó, $ D $ phải chia hết cho bình phương của tất cả các thừa số nguyên tố trong phân tích thừa số của nó. Tuy nhiên, do $ D $ chia hết cho 24 nhưng không chia hết cho $ 24^2 $ (vì $ D $ chỉ chứa tối đa một thừa số 3 và hai thừa số 2), nên $ D $ không thể là số chính phương.

Do đó, $ D = n(n+1)(n+2)(n+3) $ không phải là số chính phương với mọi $ n \in N^ $.

minhthu_ · Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

$$D=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$$

$$D=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)$$

$$D=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)$$

⇒ $$\left(n^2+3n\right)^2<D<\left(n^2+3n+1\right)^2$$

⇒ D không là số chính phương.