giải bài toán

Câu 5: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giá trị đại diện của mỗi khoảng. - Khoảng [2; 4,5): Giá trị đại diện là \( \frac{2 + 4,5}{2} = 3,25 \) - Khoảng [4,5; 7): Giá trị đại diện là \( \frac{4,5 + 7}{2} = 5,75 \) - Khoảng [7; 9,5): Giá trị đại diện là \( \frac{7 + 9,5}{2} = 8,25 \) - Khoảng [9,5; 12): Giá trị đại diện là \( \frac{9,5 + 12}{2} = 10,75 \) - Khoảng (12; 14,5): Giá trị đại diện là \( \frac{12 + 14,5}{2} = 13,25 \) - Khoảng [14,5; 17): Giá trị đại diện là \( \frac{14,5 + 17}{2} = 15,75 \) Bước 2: Tính số học sinh tổng cộng. \[ n = 8 + 6 + 8 + 10 + 5 + 7 = 44 \] Bước 3: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. \[ \bar{x} = \frac{(3,25 \times 8) + (5,75 \times 6) + (8,25 \times 8) + (10,75 \times 10) + (13,25 \times 5) + (15,75 \times 7)}{44} \] \[ \bar{x} = \frac{(26) + (34,5) + (66) + (107,5) + (66,25) + (110,25)}{44} \] \[ \bar{x} = \frac{410,5}{44} \approx 9,33 \] Bước 4: Tính phương sai. \[ s^2 = \frac{(3,25 - 9,33)^2 \times 8 + (5,75 - 9,33)^2 \times 6 + (8,25 - 9,33)^2 \times 8 + (10,75 - 9,33)^2 \times 10 + (13,25 - 9,33)^2 \times 5 + (15,75 - 9,33)^2 \times 7}{44} \] \[ s^2 = \frac{(-6,08)^2 \times 8 + (-3,58)^2 \times 6 + (-1,08)^2 \times 8 + (1,42)^2 \times 10 + (3,92)^2 \times 5 + (6,42)^2 \times 7}{44} \] \[ s^2 = \frac{36,9664 \times 8 + 12,8164 \times 6 + 1,1664 \times 8 + 2,0164 \times 10 + 15,3664 \times 5 + 41,2164 \times 7}{44} \] \[ s^2 = \frac{295,7312 + 76,8984 + 9,3312 + 20,164 + 76,832 + 288,5148}{44} \] \[ s^2 = \frac{767,4716}{44} \approx 17,44 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 17,44. Đáp án đúng là: C. 17,44. Câu 6: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong khoảng của mẫu số liệu. Giá trị nhỏ nhất trong khoảng của mẫu số liệu là 38 kg. Giá trị lớn nhất trong khoảng của mẫu số liệu là 98 kg. Khoảng biến thiên = 98 - 38 = 60 kg. Do đó, đáp án đúng là: D. 60. Câu 7: Để tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{PB}\), ta cần thực hiện phép trừ tọa độ của điểm \(P\) từ tọa độ của điểm \(B\). Cho điểm \(P(-1; 2; 5)\) và điểm \(B(10; 7; -14)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{PB}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{PB} = (x_B - x_P; y_B - y_P; z_B - z_P) \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ \overrightarrow{PB} = (10 - (-1); 7 - 2; -14 - 5) \] Tính từng thành phần: - Thành phần \(x\): \(10 - (-1) = 10 + 1 = 11\) - Thành phần \(y\): \(7 - 2 = 5\) - Thành phần \(z\): \(-14 - 5 = -19\) Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{PB}\) là \((11; 5; -19)\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~(11; 5; -19)\). Câu 8: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số ngày chạy bộ. Tổng số ngày chạy bộ là: \[ 4 + 5 + 6 + 1 + 1 = 17 \] Bước 2: Xác định vị trí của các tứ phân vị. - Vị trí của Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là \(\frac{1}{4} \times 17 = 4,25\) - Vị trí của Q2 (tứ phân vị thứ hai) là \(\frac{2}{4} \times 17 = 8,5\) - Vị trí của Q3 (tứ phân vị thứ ba) là \(\frac{3}{4} \times 17 = 12,75\) Bước 3: Xác định khoảng chứa các tứ phân vị. - Q1 nằm trong khoảng \([1; 2)\) vì vị trí 4,25 nằm trong khoảng này. - Q2 nằm trong khoảng \([2; 3)\) vì vị trí 8,5 nằm trong khoảng này. - Q3 nằm trong khoảng \([3; 4)\) vì vị trí 12,75 nằm trong khoảng này. Bước 4: Tính giá trị cụ thể của các tứ phân vị. - Q1: \[ Q1 = 1 + \left( \frac{4,25 - 4}{5} \right) \times (2 - 1) = 1 + \left( \frac{0,25}{5} \right) \times 1 = 1 + 0,05 = 1,05 \] - Q2: \[ Q2 = 2 + \left( \frac{8,5 - 9}{6} \right) \times (3 - 2) = 2 + \left( \frac{-0,5}{6} \right) \times 1 = 2 - 0,0833 = 1,9167 \] - Q3: \[ Q3 = 3 + \left( \frac{12,75 - 15}{1} \right) \times (4 - 3) = 3 + \left( \frac{-2,25}{1} \right) \times 1 = 3 - 2,25 = 0,75 \] Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị. Khoảng tứ phân vị là: \[ Q3 - Q1 = 3,05 - 1,58 = 1,47 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: \[ \boxed{1,47} \] Câu 1: Để xét tính đúng-sai của các khẳng định, ta sẽ lần lượt giải quyết từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): $|\overrightarrow{BE}|=2\sqrt3.$ Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BE}$: \[ \overrightarrow{BE} = (2 - 4, 1 - 3, -3 + 5) = (-2, -2, 2). \] Độ dài của $\overrightarrow{BE}$ là: \[ |\overrightarrow{BE}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. \] Khẳng định a) là đúng. Khẳng định b): Vectơ $\overrightarrow u=2\overrightarrow{EC}+2\overrightarrow{BE}$ có tọa độ là $(-14;-11;10).$ Tính tọa độ của $\overrightarrow{EC}$: \[ \overrightarrow{EC} = (-3 - 2, -3 - 1, 0 + 3) = (-5, -4, 3). \] Tính $\overrightarrow u = 2\overrightarrow{EC} + 2\overrightarrow{BE}$: \[ 2\overrightarrow{EC} = 2(-5, -4, 3) = (-10, -8, 6), \] \[ 2\overrightarrow{BE} = 2(-2, -2, 2) = (-4, -4, 4). \] Do đó: \[ \overrightarrow u = (-10, -8, 6) + (-4, -4, 4) = (-14, -12, 10). \] Khẳng định b) là sai vì tọa độ của $\overrightarrow u$ là $(-14, -12, 10)$, không phải $(-14, -11, 10)$. Khẳng định c): Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BE}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng 7,7". Tính tọa độ của $\overrightarrow{CB}$: \[ \overrightarrow{CB} = (4 + 3, 3 + 3, -5 - 0) = (7, 6, -5). \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CB}$: \[ \overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CB} = (-2) \cdot 7 + (-2) \cdot 6 + 2 \cdot (-5) = -14 - 12 - 10 = -36. \] Độ dài của $\overrightarrow{CB}$ là: \[ |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{7^2 + 6^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 36 + 25} = \sqrt{110}. \] Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{BE}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-36}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{110}}. \] Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-36}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{110}}\right). \] Tính giá trị gần đúng của góc $\theta$: \[ \theta \approx 7.7^\circ. \] Khẳng định c) là đúng. Khẳng định d): Điểm $D(a;b;c)$ thỏa mãn $2\overrightarrow{BD}-3\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{BC}.$ Khi đó $a+b+c=3,0.$ Tính tọa độ của $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (-3 - 4, -3 - 3, 0 + 5) = (-7, -6, 5). \] Phương trình vectơ: \[ 2\overrightarrow{BD} - 3\overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{BC}. \] Tính $3\overrightarrow{BE}$: \[ 3\overrightarrow{BE} = 3(-2, -2, 2) = (-6, -6, 6). \] Thay vào phương trình: \[ 2\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{BC} + 3\overrightarrow{BE} = (7, 6, -5) + (-6, -6, 6) = (1, 0, 1). \] Do đó: \[ \overrightarrow{BD} = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right). \] Tọa độ của điểm $D$: \[ D = \left(4 + \frac{1}{2}, 3 + 0, -5 + \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{9}{2}, 3, -\frac{9}{2}\right). \] Tổng $a + b + c$: \[ a + b + c = \frac{9}{2} + 3 - \frac{9}{2} = 3. \] Khẳng định d) là đúng. Câu 1: Để tứ giác \( HPDC \) là hình bình hành, ta cần có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Cụ thể, ta cần: 1. \(\overrightarrow{HP} = \overrightarrow{DC}\) 2. \(\overrightarrow{PD} = \overrightarrow{HC}\) Trước tiên, ta tính các vectơ \(\overrightarrow{HP}\) và \(\overrightarrow{PD}\): - \(\overrightarrow{HP} = (3 - 1, -9 + 3, -4 - 0) = (2, -6, -4)\) - \(\overrightarrow{PD} = (0 - 3, 6 + 9, 8 + 4) = (-3, 15, 12)\) Để \(\overrightarrow{HP} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ \overrightarrow{DC} = (a - 0, b - 6, c - 8) = (2, -6, -4) \] Từ đó, ta suy ra: \[ \begin{cases} a = 2 \\ b - 6 = -6 \\ c - 8 = -4 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \\ c = 4 \end{cases} \] Vậy điểm \( C \) có tọa độ \( C(2, 0, 4) \). Tổng \( a + b + c = 2 + 0 + 4 = 6 \). Do đó, tổng \( a + b + c \) là \( 6 \).