alo lo a lâmm

Câu 1: Căn bậc hai của 16 là số mà khi bình phương sẽ bằng 16. Ta có: \[ 4 \times 4 = 16 \] và \[ (-4) \times (-4) = 16 \] Do đó, căn bậc hai của 16 là 4 và -4. Vậy, căn bậc hai của 16 là 4 hoặc -4. Câu 2: Ta có $-2025a\geq-2025b$ Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho $-2025$, ta được $a\leq b$. Câu 3: Phương trình $(2-x)(3x-5)=0$ có nghiệm khi ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. - Nhân tử đầu tiên: $2 - x = 0$ \[ 2 - x = 0 \implies x = 2 \] - Nhân tử thứ hai: $3x - 5 = 0$ \[ 3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình $(2-x)(3x-5)=0$ là $x = 2$ hoặc $x = \frac{5}{3}$. Câu 4: Ta có: \[ 3x - 9 \leq 0 \] Cộng 9 vào cả hai vế của bất phương trình: \[ 3x - 9 + 9 \leq 0 + 9 \] \[ 3x \leq 9 \] Chia cả hai vế của bất phương trình cho 3: \[ \frac{3x}{3} \leq \frac{9}{3} \] \[ x \leq 3 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq 3 \] Câu 5: Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{array} \right. \] Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 2 để hệ số của \( y \) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{ \begin{array}{l} -x + 2y = 3 \\ 6x - 2y = 2 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng vế theo vế của hai phương trình: \[ (-x + 2y) + (6x - 2y) = 3 + 2 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay \( x = 1 \) vào phương trình đầu tiên để tìm \( y \): \[ -1 + 2y = 3 \] \[ 2y = 4 \] \[ y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (1, 2) \] Câu 6: Ta có: \[ B = \sqrt[3]{(-11)^3} + \sqrt[3]{8} \] Đầu tiên, ta tính giá trị của $\sqrt[3]{(-11)^3}$: \[ \sqrt[3]{(-11)^3} = -11 \] (vì lũy thừa bậc ba của -11 là $(-11)^3 = -1331$, và căn bậc ba của -1331 là -11) Tiếp theo, ta tính giá trị của $\sqrt[3]{8}$: \[ \sqrt[3]{8} = 2 \] (vì lũy thừa bậc ba của 2 là $2^3 = 8$, và căn bậc ba của 8 là 2) Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại: \[ B = -11 + 2 = -9 \] Vậy giá trị của biểu thức $B$ là: \[ B = -9 \] Câu 7: Biểu thức $\sqrt{3x-1}$ được xác định khi $3x - 1 \geq 0$. Giải bất phương trình này, ta có: \[ 3x - 1 \geq 0 \] \[ 3x \geq 1 \] \[ x \geq \frac{1}{3} \] Do đó, biểu thức $\sqrt{3x-1}$ được xác định khi \( x \geq \frac{1}{3} \). Câu 8: Ta có: $(\sqrt8-\sqrt2)\sqrt2=\sqrt8\times \sqrt2-\sqrt2\times \sqrt2$ $=\sqrt{8\times 2}-\sqrt{2\times 2}$ $=\sqrt{16}-\sqrt4$ $=4-2$ $=2$ Câu 9: Để tìm chiều cao của cột đèn, ta có thể sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Gọi \( h \) là chiều cao của cột đèn. Khi đó, cột đèn, bóng của nó trên mặt đất và tia nắng mặt trời tạo thành một tam giác vuông. Trong tam giác vuông này: - \( h \) là cạnh đối diện với góc \( 42^\circ \). - Độ dài bóng của cột đèn là \( 7,5 \) m, là cạnh kề với góc \( 42^\circ \). Ta sử dụng tỉ số lượng giác tang của góc \( 42^\circ \): \[ \tan(42^\circ) = \frac{\text{cạnh đối diện}}{\text{cạnh kề}} = \frac{h}{7,5} \] Từ đó, ta có thể tính chiều cao \( h \) của cột đèn: \[ h = 7,5 \times \tan(42^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \tan(42^\circ) \): \[ \tan(42^\circ) \approx 0,9004 \] Thay vào công thức: \[ h = 7,5 \times 0,9004 \approx 6,753 \] Vậy chiều cao của cột đèn, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, là \( 6,753 \) m. Câu 10: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \). Ta có: \[ A = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} - \frac{1}{\sqrt{5} + 2}. \] Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với liên hợp của mẫu để đơn giản hóa: \[ \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2. \] \[ \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2. \] Do đó: \[ A = (\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} + 2 = 4. \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là 4. Câu 11: Để tìm độ dài cung nhỏ \( AB \) của đường tròn \((O; 10 \text{ cm})\) với số đo góc ở tâm \( AOB = 60^\circ \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chu vi của đường tròn: Chu vi của đường tròn có bán kính \( R = 10 \text{ cm} \) là: \[ C = 2\pi R = 2\pi \times 10 = 20\pi \text{ cm} \] 2. Tính độ dài cung nhỏ \( AB \): Độ dài cung nhỏ \( AB \) được tính bằng công thức: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times C \] Trong đó, \( \theta = 60^\circ \) là số đo góc ở tâm. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 20\pi = \frac{1}{6} \times 20\pi = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3} \text{ cm} \] Vậy, độ dài cung nhỏ \( AB \) là \( \frac{10\pi}{3} \text{ cm} \). Câu 12: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần so sánh khoảng cách giữa hai tâm \(OO'\) với tổng và hiệu của hai bán kính. Gọi \(R_1 = 3\) cm là bán kính của đường tròn tâm \(O\) và \(R_2 = 7\) cm là bán kính của đường tròn tâm \(O'\). 1. Tính tổng hai bán kính: \[ R_1 + R_2 = 3 + 7 = 10 \text{ cm} \] 2. Tính hiệu hai bán kính: \[ |R_1 - R_2| = |3 - 7| = 4 \text{ cm} \] 3. So sánh khoảng cách giữa hai tâm \(OO' = 4\) cm với tổng và hiệu của hai bán kính: - \(OO' = 4\) cm bằng với \(|R_1 - R_2| = 4\) cm. - \(OO' = 4\) cm nhỏ hơn \(R_1 + R_2 = 10\) cm. Kết luận: Vì \(OO' = |R_1 - R_2|\), hai đường tròn tiếp xúc trong. Câu 13: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 9 \). Biến đổi biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \right) : \frac{3\sqrt{x}}{x - 9} \] Ta có: \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \] Do đó: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \right) : \frac{3\sqrt{x}}{x - 9} \] Tiếp tục biến đổi: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} + 3) - (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{6}{x - 9} \] Vậy: \[ A = \frac{6}{x - 9} : \frac{3\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{6}{x - 9} \cdot \frac{x - 9}{3\sqrt{x}} = \frac{6}{3\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Kết quả cuối cùng: \[ A = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Câu 14: a) Ta có: \[ 4(x - 2) \geq 2x + 2 \] \[ 4x - 8 \geq 2x + 2 \] \[ 4x - 2x \geq 2 + 8 \] \[ 2x \geq 10 \] \[ x \geq 5 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \( x \geq 5 \). b) Điều kiện xác định: \( x \neq 0; x \neq 3 \) Ta có: \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x^2 + 1}{x(x - 3)} + \frac{1}{x} \] \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x^2 + 1 + (x - 3)}{x(x - 3)} \] \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x^2 + 1 + x - 3}{x(x - 3)} \] \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x^2 + x - 2}{x(x - 3)} \] \[ \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x(x - 3)} \] Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ (x + 3)x = (x - 1)(x + 2) \] \[ x^2 + 3x = x^2 + 2x - x - 2 \] \[ x^2 + 3x = x^2 + x - 2 \] \[ 3x = x - 2 \] \[ 2x = -2 \] \[ x = -1 \] Kiểm tra điều kiện xác định \( x \neq 0; x \neq 3 \): \[ x = -1 \] thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -1 \). Câu 15: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh AC: Trong tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có: \[ \sin C = \frac{AC}{BC} \] Theo đề bài, $\sin C = 0,8$ và $BC = 5~cm$. Thay vào công thức trên, ta có: \[ 0,8 = \frac{AC}{5} \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ AC = 0,8 \times 5 = 4~cm \] 2. Tính diện tích tam giác $\Delta ACH$: Để tính diện tích tam giác $\Delta ACH$, ta cần biết độ dài $AH$. Trong tam giác vuông $\Delta ABC$, đường cao $AH$ có thể được tính bằng công thức: \[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \] Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh $AB$. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $\Delta ABC$, ta có: \[ AB^2 = BC^2 - AC^2 \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ AB^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \] Suy ra: \[ AB = \sqrt{9} = 3~cm \] Bây giờ, ta tính $AH$: \[ AH = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4~cm \] Diện tích tam giác $\Delta ACH$ được tính bằng công thức: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AC \times AH \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2,4 = \frac{1}{2} \times 9,6 = 4,8~cm^2 \] Vậy, độ dài cạnh $AC$ là $4~cm$ và diện tích tam giác $\Delta ACH$ là $4,8~cm^2$. Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật. Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là \( x \) (m) và chiều dài ban đầu là \( y \) (m). Điều kiện: \( x > 0 \) và \( y > 0 \). Theo đề bài, chu vi ban đầu của mảnh vườn là 72m, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 72 \] \[ x + y = 36 \quad (1) \] Khi tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba, chu vi mới là 194m. Ta có phương trình: \[ 2(2x + 3y) = 194 \] \[ 2x + 3y = 97 \quad (2) \] Từ hệ phương trình (1) và (2), ta giải như sau: Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 36 - x \] Thay \( y = 36 - x \) vào phương trình (2): \[ 2x + 3(36 - x) = 97 \] \[ 2x + 108 - 3x = 97 \] \[ -x + 108 = 97 \] \[ -x = 97 - 108 \] \[ -x = -11 \] \[ x = 11 \] Thay \( x = 11 \) vào phương trình \( y = 36 - x \): \[ y = 36 - 11 \] \[ y = 25 \] Vậy chiều rộng ban đầu là 11m và chiều dài ban đầu là 25m. Diện tích của mảnh vườn lúc đầu là: \[ A = x \times y = 11 \times 25 = 275 \, \text{m}^2 \] Kết luận: Diện tích của mảnh vườn lúc đầu là 275 m². Câu 17: Để chứng minh bốn điểm A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp. Điều này có nghĩa là tổng hai góc đối diện của tứ giác phải bằng 180 độ. Bước 1: Chứng minh góc AMO = góc ANO - Vì AM và AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) từ điểm A, nên góc AMO = góc ANO = 90 độ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại tiếp điểm). Bước 2: Chứng minh góc MAN = góc MON - Xét tam giác AMN, ta có: góc AMN = góc ANM (vì AM = AN, hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là bằng nhau). - Do đó, góc MAN = 180 độ - góc AMN - góc ANM = 180 độ - 2 góc AMN. - Xét tam giác MON, ta có: góc MON = 180 độ - góc AMO - góc ANO = 180 độ - 90 độ - 90 độ = 0 độ. Bước 3: Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp - Từ các bước trên, ta có: góc AMO + góc ANO = 90 độ + 90 độ = 180 độ. - Do đó, tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp. Vậy, bốn điểm A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn.