Giúp mình với! Câu 14. (0,5 điểm) Người ta muốn làm một cái hộp,bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không có nắp từ một,,tấm tôn có diện tích $54~dm^2.$ Biết hộp có đáy MNPQ,là hình chữ nhật với MQ gấp 2 lần MN (hình vẽ). Hỏi,thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể làm được là bao,nhiêu? (Coi các mép dán của hộp là không đáng kể).

Question

Giúp mình với! Câu 14. (0,5 điểm) Người ta muốn làm một cái hộp,bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không có nắp từ một,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/cb9f98201ca84c848bcb62dd86dafa01.jpg />,tấm tôn có diện tích $54~dm^2.$ Biết hộp có đáy MNPQ,là hình chữ nhật với MQ gấp 2 lần MN (hình vẽ). Hỏi,thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể làm được là bao,nhiêu? (Coi các mép dán của hộp là không đáng kể).

Accepted Answer

Phân tích bài toán

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật như sau:

Chiều rộng đáy ($MN$) là $x$ ($dm, x > 0$).

Chiều dài đáy ($MQ$) là $2x$ (vì $MQ = 2MN$).

Chiều cao của hộp là $h$ ($dm, h > 0$).

1. Thiết lập mối liên hệ từ diện tích tấm tôn

Chiếc hộp không có nắp, nên diện tích tấm tôn chính là diện tích đáy cộng với diện tích 4 mặt bên:

Diện tích đáy: $S_{đáy} = x \cdot 2x = 2x^2$

Diện tích các mặt bên: $S_{bên} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 2xh + 4xh = 6xh$

Tổng diện tích tấm tôn là $54~dm^2$:

$2x^2 + 6xh = 54$

Từ đó, ta rút $h$ theo $x$:

$6xh = 54 - 2x^2 \implies h = \frac{54 - 2x^2}{6x} = \frac{27 - x^2}{3x}$

2. Thiết lập công thức tính thể tích

Thể tích $V$ của hình hộp chữ nhật là:

$V = ext{Dài} imes ext{Rộng} imes ext{Cao} = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 \cdot h$

Thay $h$ bằng biểu thức chứa $x$ vừa tìm được:

$V(x) = 2x^2 \cdot \left( \frac{27 - x^2}{3x} ight) = \frac{2x(27 - x^2)}{3} = \frac{54x - 2x^3}{3} = 18x - \frac{2}{3}x^3$

3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích

Để tìm $V_{max}$, ta tính đạo hàm $V'(x)$ và tìm cực trị:

$V'(x) = 18 - 2x^2$

Cho $V'(x) = 0$:

$18 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 ext{ (vì } x > 0)$

Kiểm tra:
Với $x = 3$, ta có chiều cao $h = \frac{27 - 3^2}{3 \cdot 3} = \frac{18}{9} = 2~dm$.
Thể tích lớn nhất là:

$V_{max} = 18(3) - \frac{2}{3}(3)^3 = 54 - 18 = 36~dm^3$

(Hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM: $V = \frac{2}{3} \cdot x \cdot x \cdot (27 - x^2) \cdot \frac{1}{x} \dots ext{tuy nhiên cách đạo hàm là trực quan nhất cho bài toán này})$.

Kết luận

Thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể làm được là $36~dm^3$.

Timi · Answer

Câu 14: Để tìm thể tích lớn nhất của chiếc hộp, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt ẩn và điều kiện: Gọi chiều dài MN là $x$ (đơn vị: dm, điều kiện: $x > 0$). Khi đó, MQ = $2x$. Gọi chiều cao của hộp là $h$ (đơn vị: dm, điều kiện: $h > 0$). 2. Tính diện tích tấm tôn: Diện tích tấm tôn là tổng diện tích của đáy và bốn mặt bên: $$ S = MN \times MQ + 2(MN \times h) + 2(MQ \times h) $$ Thay các giá trị vào, ta có: $$ S = x \times 2x + 2(x \times h) + 2(2x \times h) = 2x^2 + 2xh + 4xh = 2x^2 + 6xh $$ Theo đề bài, diện tích tấm tôn là $54~dm^2$: $$ 2x^2 + 6xh = 54 $$ 3. Biểu diễn $h$ theo $x$: Giải phương trình trên để tìm $h$: $$ 6xh = 54 - 2x^2 $$ $$ h = \frac{54 - 2x^2}{6x} = \frac{27 - x^2}{3x} $$ 4. Tính thể tích của hộp: Thể tích $V$ của hộp là: $$ V = MN \times MQ \times h = x \times 2x \times h = 2x^2 \times \frac{27 - x^2}{3x} $$ $$ V = \frac{2x(27 - x^2)}{3} = \frac{54x - 2x^3}{3} = 18x - \frac{2x^3}{3} $$ 5. Tìm giá trị lớn nhất của $V$: Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta xét hàm số: $$ V = 18x - \frac{2x^3}{3} $$ Xét điều kiện xác định: $x > 0$ và $h > 0$, tức là: $$ \frac{27 - x^2}{3x} > 0 \Rightarrow 27 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 27 \Rightarrow x < \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$ Do đó, $0 < x < 3\sqrt{3}$. Để tìm giá trị lớn nhất của $V$, ta có thể xét các giá trị biên và giá trị trong khoảng này. Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể thử các giá trị hợp lý của $x$ trong khoảng này để tìm giá trị lớn nhất của $V$. Sau khi thử nghiệm, ta tìm được giá trị lớn nhất của $V$ khi $x = 3$, khi đó: $$ h = \frac{27 - 3^2}{3 \times 3} = \frac{18}{9} = 2 $$ Thể tích lớn nhất là: $$ V = 18 \times 3 - \frac{2 \times 3^3}{3} = 54 - 6 = 48 $$ Vậy, thể tích lớn nhất của chiếc hộp có thể làm được là $48~dm^3$.