cho nửa đg tròn tâm o đg kính mn kẻ mx ny h là 1 điểm thuộc nửa đg tròn o tiếp tuyến h cắt mx ,ny lần lướt tại e,f chứng minh em.fn k đổi b, hm cắt oe tại i hn cắt of tại k cm hkoi là hcn c, cm ik//mn

GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC: NỬA ĐƯỜNG TRÒN VÀ TIẾP TUYẾN

Đề bài cho:

Nửa đường tròn $(O)$, đường kính $MN$.

$Mx \perp MN, Ny \perp MN$ (Tiếp tuyến tại $M$ và $N$).

Tiếp tuyến tại $H$ cắt $Mx$ tại $E$, cắt $Ny$ tại $F$.

a) Chứng minh $EM \cdot FN$ không đổi

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau:

$EM = EH$ (vì $EM, EH$ là tiếp tuyến từ $E$ đến $(O)$).

$FN = FH$ (vì $FN, FH$ là tiếp tuyến từ $F$ đến $(O)$).

Xét tam giác $EOF$:

$OE$ là tia phân giác của $\widehat{MOH}$ (tính chất tiếp tuyến).

$OF$ là tia phân giác của $\widehat{NOH}$ (tính chất tiếp tuyến).

Vì $\widehat{MOH}$ và $\widehat{NOH}$ là hai góc kề bù, nên hai tia phân giác của chúng vuông góc với nhau. Suy ra $\widehat{EOF} = 90^\circ$.

Xét tam giác vuông $EOF$ có đường cao $OH$ ($OH \perp EF$ vì $EF$ là tiếp tuyến tại $H$):
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$EH \cdot FH = OH^2$

Mà $EH = EM, FH = FN$ và $OH = R = \frac{MN}{2}$.
Thay vào ta được:

$EM \cdot FN = R^2 = \left(\frac{MN}{2}\right)^2$

Vì $MN$ không đổi nên $EM \cdot FN$ không đổi (đpcm).

b) Chứng minh $HKOI$ là hình chữ nhật

Xét tứ giác $OMHE$: có $EM = EH$ và $OM = OH = R$, nên $OE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MH$.

Suy ra $OE \perp MH$ tại $I \Rightarrow \widehat{HIO} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $ONHF$: tương tự, có $FN = FH$ và $ON = OH = R$, nên $OF$ là đường trung trực của đoạn thẳng $NH$.

Suy ra $OF \perp NH$ tại $K \Rightarrow \widehat{HKO} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $HKOI$:

$\widehat{HIO} = 90^\circ$ (chứng minh trên).

$\widehat{HKO} = 90^\circ$ (chứng minh trên).

$\widehat{IOK} = 90^\circ$ (vì $\widehat{EOF} = 90^\circ$).

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy $HKOI$ là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh $IK // MN$

Trong hình chữ nhật $HKOI$, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi $G$ là giao điểm của $OH$ và $IK$.
Tuy nhiên, ta có cách chứng minh dựa trên tam giác đồng dạng đơn giản hơn:

Xét tam giác $OHM$ cân tại $O$ ($OM=OH=R$):

$OI$ là đường cao đồng thời là đường phân giác, nên $\widehat{MOI} = \widehat{HOI}$.

Tương tự trong tam giác $OHN$ cân tại $O$, $OK$ là phân giác nên $\widehat{NOK} = \widehat{HOK}$.

Xét tam giác $OIK$ và tam giác $OMN$:

Ta có $OI \perp MH$ trong tam giác vuông $MOH$, theo hệ thức lượng: $OI \cdot OE = OM^2 = R^2 \Rightarrow OI = \frac{R^2}{OE}$. (Cách này hơi phức tạp).

Cách trực diện:
Vì $HKOI$ là hình chữ nhật nên $\widehat{OKI} = \widehat{OHK}$ (tính chất hình chữ nhật).
Mà tam giác $OHN$ cân tại $O$ ($OH=ON=R$) nên $\widehat{OHK} = \widehat{ONH}$.
Từ đó suy ra $\widehat{OKI} = \widehat{ONH}$.
Hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó $IK // MN$ (đpcm).