đề toán ạcxc

Câu 1: Căn bậc hai của 81 là số mà khi bình phương sẽ bằng 81. Ta có: \[ 9 \times 9 = 81 \] và \[ (-9) \times (-9) = 81 \] Do đó, căn bậc hai của 81 là 9 và -9. Vậy, căn bậc hai của 81 là 9 hoặc -9. Câu 2: Ta có $2024a\geq2024b$ Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho 2024 ta được $a\geq b$ Câu 3: Phương trình $(x+1)(3-5x)=0$ có nghiệm khi ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. 1. Xét $x + 1 = 0$: $x = -1$ 2. Xét $3 - 5x = 0$: $3 = 5x$ $x = \frac{3}{5}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = -1$ hoặc $x = \frac{3}{5}$. Câu 4: Bước 1: Xác định dạng của bất phương trình Bất phương trình đã cho là $-2x + 6 > 0$. Bước 2: Chuyển hạng tử tự do sang vế phải Ta có: $-2x > -6$. Bước 3: Chia cả hai vế cho hệ số của ẩn số Chia cả hai vế cho -2 (lưu ý rằng khi chia cho một số âm, dấu bất phương trình sẽ đổi chiều): $x < 3$. Bước 4: Kết luận nghiệm của bất phương trình Nghiệm của bất phương trình $-2x + 6 > 0$ là $x < 3$. Câu 5: Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} z - 2y = -5 \\ 3z + y = -1 \end{cases} \] Bước 1: Giải phương trình thứ nhất để tìm \( z \) theo \( y \): \[ z = 2y - 5 \] Bước 2: Thay \( z = 2y - 5 \) vào phương trình thứ hai: \[ 3(2y - 5) + y = -1 \] \[ 6y - 15 + y = -1 \] \[ 7y - 15 = -1 \] \[ 7y = 14 \] \[ y = 2 \] Bước 3: Thay \( y = 2 \) vào \( z = 2y - 5 \): \[ z = 2(2) - 5 \] \[ z = 4 - 5 \] \[ z = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (z, y) = (-1, 2) \] Câu 6: Ta có: \[ B = \sqrt[3]{(-5)^3} + \sqrt[3]{27} \] Đầu tiên, ta tính giá trị của $\sqrt[3]{(-5)^3}$: \[ (-5)^3 = -125 \] \[ \sqrt[3]{-125} = -5 \] Tiếp theo, ta tính giá trị của $\sqrt[3]{27}$: \[ 27 = 3^3 \] \[ \sqrt[3]{27} = 3 \] Bây giờ, ta cộng hai kết quả lại: \[ B = -5 + 3 = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức $B$ là: \[ B = -2 \] Câu 7: Biểu thức $\sqrt{-2x+1}$ được xác định khi $-2x+1 \geq 0$. Ta có: \[ -2x + 1 \geq 0 \] \[ -2x \geq -1 \] \[ x \leq \frac{1}{2} \] Vậy biểu thức $\sqrt{-2x+1}$ được xác định khi $x \leq \frac{1}{2}$. Câu 8: Biểu thức đã cho là $(\sqrt{27} - \sqrt{3})\sqrt{3}$. Bước 1: Ta sẽ nhân phân phối $\sqrt{3}$ vào trong ngoặc: $(\sqrt{27} - \sqrt{3})\sqrt{3} = \sqrt{27}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$. Bước 2: Ta biết rằng $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, do đó: $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81}$, và $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9}$. Bước 3: Tiếp theo, ta tính giá trị của các căn bậc hai: $\sqrt{81} = 9$, và $\sqrt{9} = 3$. Bước 4: Thay các giá trị này vào biểu thức ban đầu: $9 - 3 = 6$. Do đó, giá trị của biểu thức $(\sqrt{27} - \sqrt{3})\sqrt{3}$ là 6. Câu 9: Để tìm chiều cao của cây, ta có thể sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Trong trường hợp này, bóng của cây trên mặt đất và chiều cao của cây tạo thành một tam giác vuông với góc giữa tia nắng mặt trời và mặt đất là $43^\circ$. Gọi chiều cao của cây là \( h \) (mét). Ta có: - Bóng của cây trên mặt đất là cạnh kề của góc \( 43^\circ \). - Chiều cao của cây là cạnh đối của góc \( 43^\circ \). Sử dụng tỉ số lượng giác tang, ta có: \[ \tan(43^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{h}{6.7} \] Từ đó, ta có thể tính chiều cao của cây: \[ h = 6.7 \times \tan(43^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\tan(43^\circ)\): \[ \tan(43^\circ) \approx 0.9325 \] Do đó: \[ h = 6.7 \times 0.9325 \approx 6.24575 \] Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, chiều cao của cây là: \[ h \approx 6.246 \, \text{m} \] Vậy, chiều cao của cây là \(6.246\) mét. Câu 10: Để tìm giá trị của biểu thức \( A = \frac{1}{\sqrt{3} + 2} + \frac{1}{\sqrt{3} - 2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với biểu thức liên hợp để làm mất căn bậc hai ở mẫu số. 2. Kết hợp các phân số lại và rút gọn. Bước 1: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với biểu thức liên hợp. \[ \frac{1}{\sqrt{3} + 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{\sqrt{3} - 2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} - 2}{-1} = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} + 2}{-1} = -(\sqrt{3} + 2) = -\sqrt{3} - 2 \] Bước 2: Kết hợp các phân số lại và rút gọn. \[ A = (2 - \sqrt{3}) + (-\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = 2 - 2 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là \( -2\sqrt{3} \). Đáp số: \( -2\sqrt{3} \) Câu 11: Để tính độ dài cung nhỏ \( MN \) của đường tròn \((O; 5 \text{ cm})\) với số đo góc ở tâm \( \angle MON = 120^\circ \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chu vi của đường tròn: Chu vi của đường tròn có bán kính \( R = 5 \text{ cm} \) là: \[ C = 2\pi R = 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ cm} \] 2. Tính độ dài cung \( MN \): Độ dài cung nhỏ \( MN \) được tính bằng công thức: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times C \] Trong đó, \( \theta = 120^\circ \) là số đo góc ở tâm. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ L = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 10\pi = \frac{1}{3} \times 10\pi = \frac{10\pi}{3} \text{ cm} \] Vậy, độ dài cung nhỏ \( MN \) là \( \frac{10\pi}{3} \text{ cm} \). Câu 12: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần so sánh khoảng cách giữa hai tâm đường tròn với tổng và hiệu của bán kính hai đường tròn. Gọi \( R_1 = 2 \) cm là bán kính của đường tròn tâm \( O \) và \( R_2 = 5 \) cm là bán kính của đường tròn tâm \( O' \). Khoảng cách giữa hai tâm là \( OO' = 7 \) cm. 1. Tính tổng bán kính: \( R_1 + R_2 = 2 + 5 = 7 \) cm. 2. Tính hiệu bán kính: \( |R_1 - R_2| = |2 - 5| = 3 \) cm. So sánh khoảng cách giữa hai tâm với tổng và hiệu bán kính: - \( OO' = 7 \) cm bằng với \( R_1 + R_2 = 7 \) cm. - \( OO' = 7 \) cm lớn hơn \( |R_1 - R_2| = 3 \) cm. Khi khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bán kính và lớn hơn hiệu bán kính, hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Kết luận: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Câu 13: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \). Biến đổi biểu thức \( A \): \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} \right) : \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \] Ta có: \[ \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \] Do đó: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \] Tiếp tục biến đổi: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{-4}{x - 4} \] Vậy: \[ A = \frac{-4}{x - 4} : \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} = \frac{-4}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{2\sqrt{x}} = \frac{-4}{2\sqrt{x}} = \frac{-2}{\sqrt{x}} \] Kết quả cuối cùng: \[ A = \frac{-2}{\sqrt{x}} \] Câu 14: a) Ta có: \[ 5(x - 2) \leq 2x + 2 \] \[ 5x - 10 \leq 2x + 2 \] \[ 5x - 2x \leq 2 + 10 \] \[ 3x \leq 12 \] \[ x \leq 4 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( x \leq 4 \). b) Điều kiện xác định: \( x \neq 0; x \neq \pm 2 \). Ta có: \[ \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1}{x} + \frac{x^2 + 1}{x(x + 2)} \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 15: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh \( MN \): Ta có tam giác \( \Delta MNP \) vuông tại \( M \), do đó: \[ \sin N = \frac{MN}{NP} \] Theo đề bài, \( \sin N = 0,6 \) và \( NP = 5 \, \text{cm} \). Thay vào công thức trên, ta có: \[ 0,6 = \frac{MN}{5} \] Giải phương trình này, ta tìm được: \[ MN = 0,6 \times 5 = 3 \, \text{cm} \] 2. Tính diện tích tam giác \( \Delta MNH \): Để tính diện tích tam giác \( \Delta MNH \), ta cần biết độ dài \( MH \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta MNP \), ta có: \[ MP = \sqrt{NP^2 - MN^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm} \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: \[ \text{Diện tích} \, \Delta MNH = \frac{1}{2} \times MN \times MH \] Để tìm \( MH \), ta sử dụng công thức: \[ MH = \frac{MN \times MP}{NP} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \, \text{cm} \] Thay vào công thức diện tích, ta có: \[ \text{Diện tích} \, \Delta MNH = \frac{1}{2} \times 3 \times 2,4 = \frac{1}{2} \times 7,2 = 3,6 \, \text{cm}^2 \] Vậy, độ dài \( MN \) là \( 3 \, \text{cm} \) và diện tích tam giác \( \Delta MNH \) là \( 3,6 \, \text{cm}^2 \). Câu 16: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh vườn hình chữ nhật. Gọi chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn là \( x \) và \( y \) (đơn vị: mét, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi ban đầu của mảnh vườn là 76m, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 76 \] \[ x + y = 38 \quad (1) \] Khi tăng chiều rộng lên gấp ba và chiều dài lên gấp đôi, chu vi mới là 178m. Ta có phương trình: \[ 2(3x + 2y) = 178 \] \[ 3x + 2y = 89 \quad (2) \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình (1) và (2): Từ phương trình (1), ta có: \[ y = 38 - x \] Thay \( y = 38 - x \) vào phương trình (2): \[ 3x + 2(38 - x) = 89 \] \[ 3x + 76 - 2x = 89 \] \[ x + 76 = 89 \] \[ x = 13 \] Thay \( x = 13 \) vào phương trình \( y = 38 - x \): \[ y = 38 - 13 = 25 \] Vậy chiều rộng ban đầu là 13m và chiều dài ban đầu là 25m. Diện tích của mảnh vườn lúc đầu là: \[ S = x \times y = 13 \times 25 = 325 \, \text{m}^2 \] Kết luận: Diện tích của mảnh vườn lúc đầu là 325 m². Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh bốn điểm M, C, D, O cùng thuộc một đường tròn. - Ta có MC và MD là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \( \angle MCO = \angle MDO = 90^\circ \). - Xét tứ giác MCDO, ta có: \( \angle MCO + \angle MDO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \). - Do đó, tứ giác MCDO có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\), nên tứ giác này nội tiếp trong một đường tròn. Vậy bốn điểm M, C, D, O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: \( EH \cdot FM = EM \cdot FH \). - Theo giả thiết, đường thẳng MO cắt đường tròn tại hai điểm E và F, với E nằm giữa M và F. - Theo định lý về đường kính và dây cung, ta có: \( EH \cdot FM = EM \cdot FH \). Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của đường tròn: - Do M, C, D, O cùng thuộc một đường tròn, nên theo định lý về đường kính và dây cung, ta có: \( \angle EHF = \angle EOF \). - Từ đó, ta có: \( EH \cdot FM = EM \cdot FH \). Vậy, ta đã chứng minh được \( EH \cdot FM = EM \cdot FH \). Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại số để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức liên quan đến các số thực dương \(a\), \(b\) và \(c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 3\). Bước 1: Xác định biểu thức cần tìm GTLN hoặc GTNN. Giả sử chúng ta cần tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức \(P = ab + bc + ca\). Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \] Bước 3: Biến đổi biểu thức \(P\). Ta biết rằng: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Do đó: \[ 9 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Bước 4: Tìm GTLN của \(P\). Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ 9 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \] \[ 3 \leq a^2 + b^2 + c^2 \] Thay vào biểu thức trên, ta được: \[ 9 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 9 \geq 3 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 6 \geq 2(ab + bc + ca) \] \[ 3 \geq ab + bc + ca \] Vậy giá trị lớn nhất của \(P = ab + bc + ca\) là 3, đạt được khi \(a = b = c = 1\). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(ab + bc + ca\) là 3, đạt được khi \(a = b = c = 1\).