cho tam giác abc cuông tại b đg trung tuyến bm kẻ ck vuông góc với bm tại k biêt rằng ab=6cm,tanacb=3/4 tính ck

Question

boysad5 · Accepted Answer

GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN TÍNH ĐỘ DÀI CK

1. Phân tích giả thiết

$ riangle ABC$ vuông tại $B$ ($\widehat{B} = 90^\circ$).

$AB = 6$ cm.

$ an(\widehat{ACB}) = \frac{3}{4}$.

$BM$ là đường trung tuyến ($M$ là trung điểm $AC$).

$CK \perp BM$ tại $K$.

2. Tính các cạnh của tam giác ABC

Dựa vào tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $ABC$:

$an(\widehat{ACB}) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$

Thay $AB = 6$ cm vào:

$\frac{6}{BC} = \frac{3}{4} \Rightarrow BC = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8 ext{ cm.}$

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$\Rightarrow AC = \sqrt{100} = 10 ext{ cm.}$

3. Tính độ dài đường trung tuyến BM

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

$BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 ext{ cm.}$

Vì $BM$ là trung tuyến nên $MA = MC = \frac{1}{2} AC = 5$ cm.
Suy ra $ riangle MBC$ là tam giác cân tại $M$ (vì $MB = MC = 5$ cm).

4. Tính CK

Để tính $CK$ (đường cao hạ từ $C$ xuống $BM$ của $ riangle MBC$), ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác:

Cách 1: Sử dụng diện tích tam giác MBC
Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 ext{ cm}^2.$

Vì $BM$ là trung tuyến nên diện tích tam giác $MBC$ bằng nửa diện tích tam giác $ABC$:

$S_{MBC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 ext{ cm}^2.$

Mặt khác, diện tích tam giác $MBC$ cũng được tính theo chiều cao $CK$ và đáy $BM$:

$S_{MBC} = \frac{1}{2} CK \cdot BM$

Thay số vào:

$12 = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot 5$

$CK = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4,8 ext{ cm.}$

Cách 2: Sử dụng công thức Heron hoặc hạ đường cao từ M (Dành cho kiểm tra)
Nếu gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì $MH \perp BC$ (do $ riangle MBC$ cân).
$MH = \frac{1}{2} AB = 3$ cm (đường trung bình).
$S_{MBC} = \frac{1}{2} MH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12 ext{ cm}^2$.
Kết quả $CK$ vẫn là $4,8$ cm.

Kết luận

Độ dài đoạn thẳng $CK = 4,8$ cm.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố đã cho:
   - Tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ B $.
   - Đường trung tuyến $ BM $ từ $ B $ đến cạnh $ AC $.
   - $ CK $ vuông góc với $ BM $ tại $ K $.
   - $ AB = 6 \, \text{cm} $.
   - $ \tan \angle ACB = \frac{3}{4} $.

2. Tính độ dài $ BC $:

Trong tam giác vuông $ \triangle ABC $, ta có:
   $$
   \tan \angle ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}
   $$

Suy ra:
   $$
   BC = \frac{AB}{\tan \angle ACB} = \frac{6}{\frac{3}{4}} = 8 \, \text{cm}
   $$

3. Tính độ dài $ AC $:

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ \triangle ABC $:
   $$
   AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
   $$

4. Tính độ dài $ BM $:

Vì $ BM $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $ AC $ của tam giác vuông $ \triangle ABC $, nên:
   $$
   BM = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \, \text{cm}
   $$

5. Tính độ dài $ CK $:

Vì $ CK $ vuông góc với $ BM $ tại $ K $, và $ BM = 5 \, \text{cm} $, nên trong tam giác vuông $ \triangle BCK $, ta có:
   $$
   CK = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
   $$

Vậy, độ dài $ CK $ là $ 4.8 \, \text{cm} $.