Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y=1$. Tìm GTNN của biểu thức $A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2$.

Question

minhthu_ · Accepted Answer

{"userId":5183859,"userName":"Bùi Ngọc Diễm"}

Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số dương ta có:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)$$

⇒ $$2\left\lbrack\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right\rbrack\ge\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2$$

⇔ $$2A\ge\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2=\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2$$

⇒ $$2A\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2=\left(1+1+\frac{y}{x}+1+\frac{x}{y}\right)^2$$

⇒ $$2A\ge\left(3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2$$

Lại có: $$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2$$

Dấu "=" xảy ra kvck $$x=y$$

⇒ $$2A\ge\left(3+2\right)^2=25$$

Vậy $$MinA=12,5$$ kvck $$x=y=0,5$$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ A = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 $ với điều kiện $ x + y = 1 $ và $ x, y > 0 $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $(x, \frac{1}{x})$ và $(y, \frac{1}{y})$:
$$ x + \frac{1}{x} \geq 2 $$
$$ y + \frac{1}{y} \geq 2 $$

Bước 2: Bình phương các bất đẳng thức trên:
$$ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \geq 4 $$
$$ \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 \geq 4 $$

Bước 3: Cộng các bất đẳng thức vừa nhận được:
$$ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 \geq 4 + 4 = 8 $$

Bước 4: Kiểm tra xem dấu bằng có xảy ra không. Dấu bằng xảy ra khi:
$$ x = \frac{1}{x} \quad \text{và} \quad y = \frac{1}{y} $$
$$ x^2 = 1 \quad \text{và} \quad y^2 = 1 $$
$$ x = 1 \quad \text{và} \quad y = 1 $$

Tuy nhiên, do $ x + y = 1 $, nên $ x = 1 $ và $ y = 1 $ không thỏa mãn điều kiện này. Thay vào đó, ta thử $ x = y = \frac{1}{2} $:
$$ x + y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$
$$ A = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2 $$
$$ A = \left(\frac{1}{2} + 2\right)^2 + \left(\frac{1}{2} + 2\right)^2 $$
$$ A = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 $$
$$ A = \frac{25}{4} + \frac{25}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 12.5, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{2} $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 12.5, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{2} $.