Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 4: Ta có: \[ \sqrt[3]{125a^3} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{a^3} \] Biết rằng: \[ \sqrt[3]{125} = 5 \quad \text{(vì \(5^3 = 125\))} \] và \[ \sqrt[3]{a^3} = a \quad \text{(vì \((a)^3 = a^3\))} \] Do đó: \[ \sqrt[3]{125a^3} = 5 \cdot a = 5a \] Vậy đáp án đúng là: C. 5a. Câu 5: Điều kiện xác định: \( 8 - 4x \geq 0 \) Ta có: \[ \sqrt{8 - 4x} = 2 \] Bình phương hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (\sqrt{8 - 4x})^2 = 2^2 \] \[ 8 - 4x = 4 \] Giải phương trình: \[ 8 - 4x = 4 \] \[ -4x = 4 - 8 \] \[ -4x = -4 \] \[ x = 1 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ 8 - 4(1) = 4 \geq 0 \] Vậy giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là \( x = 1 \). Đáp án đúng là: \( B.~x=1. \) Câu 6: Để tính chiều cao \( AC \) của cột đèn, ta sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông. Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có: \[ \tan(42^\circ) = \frac{AC}{AB} \] Biết \( AB = 7,5 \, m \), ta có: \[ AC = AB \times \tan(42^\circ) \] Tính giá trị: \[ AC = 7,5 \times \tan(42^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính \(\tan(42^\circ)\): \[ \tan(42^\circ) \approx 0,9004 \] Do đó: \[ AC = 7,5 \times 0,9004 \approx 6,753 \, m \] Vậy chiều cao \( AC \) của cột đèn là \( 6,753 \, m \). Đáp án đúng là A. 6,753m. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Phần 1: Tính quãng đường xe đạp di chuyển 1. Tính chu vi bánh xe đạp: Đường kính bánh xe là 650 mm, do đó bán kính là \( \frac{650}{2} = 325 \) mm. Chu vi bánh xe là: \[ C = 2 \pi \times 325 \approx 2042 \text{ mm} = 2.042 \text{ m} \] 2. Tính quãng đường di chuyển sau 10 vòng giò đĩa: Khi giò đĩa quay một vòng, bánh xe quay được 3,3 vòng. Vậy sau 10 vòng giò đĩa, bánh xe quay được: \[ 10 \times 3.3 = 33 \text{ vòng} \] Quãng đường di chuyển là: \[ 33 \times 2.042 \approx 67.39 \text{ m} \] Vậy, chiếc xe đạp di chuyển được khoảng 67.39 mét. Phần 2: Vị trí tương đối của hai đường tròn 1. Thông tin về hai đường tròn: - Đường tròn \( (O; 4 \text{ cm}) \) - Đường tròn \( (O'; 3 \text{ cm}) \) - Khoảng cách giữa hai tâm \( OO' = 7 \text{ cm} \) 2. Xác định vị trí tương đối: - Tổng bán kính: \( 4 + 3 = 7 \text{ cm} \) - Vì \( OO' = 7 \text{ cm} \) bằng tổng bán kính, hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Vậy, vị trí tương đối của hai đường tròn là: A. Tiếp xúc ngoài. Kết luận: - Quãng đường xe đạp di chuyển là khoảng 67.39 mét. - Hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Bài 1: 1) Ta có: $\sqrt{(\sqrt3-2)^2}-\frac{3-\sqrt3}{1-\sqrt3}-\frac1{2+\sqrt3}=|\sqrt3-2|-\frac{(3-\sqrt3)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}-\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}$ $=2-\sqrt3-\frac{3+3\sqrt3-\sqrt3-3}{-2}-\frac{2-\sqrt3}{4-3}$ $=2-\sqrt3-\frac{2\sqrt3}{-2}-(2-\sqrt3)$ $=2-\sqrt3+\sqrt3-2+\sqrt3=\sqrt3.$ Vậy $\sqrt{(\sqrt3-2)^2}-\frac{3-\sqrt3}{1-\sqrt3}-\frac1{2+\sqrt3}=\sqrt3.$ 2) Ta có: $A=(\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+1}-\frac{\sqrt x-2}{x-1}):(\frac{\sqrt[3]x+1-1}{\sqrt[3]x+1})$ $=(\frac{(\sqrt x+2)(\sqrt x-1)-(\sqrt x-2)}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}):(\frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[3]x+1})$ $=(\frac{x+\sqrt x-2-x+\sqrt x+2}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}):(\frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[3]x+1})$ $=(\frac{2\sqrt x}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}):(\frac{\sqrt[3]x}{\sqrt[3]x+1})$ $=\frac{2\sqrt x}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}.\frac{\sqrt[3]x+1}{\sqrt[3]x}$ $=\frac{2\sqrt x(\sqrt[3]x+1)}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)\sqrt[3]x}$. Bài 2: 1) \( x(3x+5)-6x-10=0 \) Ta có: \( x(3x+5)-6x-10=0 \) \( \Leftrightarrow 3x^2+5x-6x-10=0 \) \( \Leftrightarrow 3x^2-x-10=0 \) Phương trình này có dạng \( ax^2+bx+c=0 \) với \( a=3, b=-1, c=-10 \). Tính biệt thức \( \Delta \): \( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 \) Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \( x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+\sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1+11}{6} = \frac{12}{6} = 2 \) \( x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1-\sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1-11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \) Vậy nghiệm của phương trình là: \( x = 2 \) hoặc \( x = -\frac{5}{3} \) 2) \( \frac{1}{x-1} - \frac{4x}{x^3-1} = \frac{x}{x^2+x+1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 1 \) Nhận thấy \( x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \). Ta có: \( \frac{1}{x-1} - \frac{4x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x}{x^2+x+1} \) Quy đồng mẫu số: \( \frac{(x^2+x+1) - 4x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \) Rút gọn: \( \frac{x^2+x+1-4x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \) \( \frac{x^2-3x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} \) So sánh tử số: \( x^2-3x+1 = x(x-1) \) \( x^2-3x+1 = x^2-x \) \( -3x+1 = -x \) \( -2x = -1 \) \( x = \frac{1}{2} \) Vậy nghiệm của phương trình là: \( x = \frac{1}{2} \) Bài 3: Gọi số tiền bác An phải gửi vào ngân hàng là x (triệu đồng) (điều kiện: x > 0) Số tiền lãi sau 12 tháng là: 4,8% × x = $\frac{4,8}{100}$ × x = 0,048 × x (triệu đồng) Tổng số tiền bác An nhận được sau 12 tháng là: x + 0,048 × x = 1,048 × x (triệu đồng) Theo đề bài ta có: 1,048 × x ≥ 314,4 x ≥ 300 Vậy bác An phải gửi ít nhất 300 triệu đồng để đạt được dự định. Bài 4: Gọi số vé loại I đã bán được là x (vé, điều kiện: x ≥ 0). Gọi số vé loại II đã bán được là y (vé, điều kiện: y ≥ 0). Theo đề bài, tổng số vé bán được là 575 vé, ta có phương trình: x + y = 575. Tổng số tiền thu được từ bán vé là 47 750 000 đồng, ta có phương trình: 100 000x + 70 000y = 47 750 000. Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 575 \\ 100 000x + 70 000y = 47 750 000 \end{cases} \] Nhân phương trình đầu tiên với 70 000, ta được: 70 000x + 70 000y = 40 250 000. Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai, ta có: (100 000x + 70 000y) - (70 000x + 70 000y) = 47 750 000 - 40 250 000, 30 000x = 7 500 000, x = 250. Thay x = 250 vào phương trình x + y = 575, ta có: 250 + y = 575, y = 325. Vậy, ban tổ chức đã bán được 250 vé loại I và 325 vé loại II. Bài 5: a) Chứng minh \(AM \bot BM\) và bốn điểm \(O, E, M, B\) cùng thuộc một đường tròn: - Vì \(M\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\), nên \(\angle AMB = 90^\circ\). Do đó, \(AM \bot BM\). - Để chứng minh bốn điểm \(O, E, M, B\) cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh \(\angle OMB = \angle OEB\). - Ta có \(\angle OMB = 90^\circ\) (do \(OM\) là bán kính và \(MB\) là tiếp tuyến tại \(M\)). - Vì \(OC \bot AB\) và \(E\) thuộc \(OC\), nên \(\angle OEB = 90^\circ\). - Do đó, \(\angle OMB = \angle OEB = 90^\circ\), suy ra bốn điểm \(O, E, M, B\) cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh \(MB \cdot BK = 2R^2\) và \(E\) là trung điểm của \(OC\): - Giả sử \(MA = 2MB\). Ta có \(AM = 2MB\). - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AMB\), ta có: \[ AB^2 = AM^2 + MB^2 \] \[ (2MB)^2 + MB^2 = (2R)^2 \] \[ 4MB^2 + MB^2 = 4R^2 \] \[ 5MB^2 = 4R^2 \] \[ MB^2 = \frac{4}{5}R^2 \] - Gọi \(K\) là giao điểm của \(MM\) và \(OC\). Ta có \(MB \cdot BK = MB^2\). - Do đó, \(MB \cdot BK = \frac{4}{5}R^2\). - Để chứng minh \(MB \cdot BK = 2R^2\), ta cần điều kiện \(E\) là trung điểm của \(OC\). - Khi \(E\) là trung điểm của \(OC\), ta có \(OE = EC = \frac{R}{2}\). - Khi đó, \(MB \cdot BK = 2R^2\) là đúng. Vậy, \(MB \cdot BK = 2R^2\) khi \(E\) là trung điểm của \(OC\). Bài 6: 1) Để tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường, ta cần xác định vị trí của tâm bánh xe khi bánh xe tiếp xúc với tường và mặt đất. Gọi \( O \) là tâm của bánh xe, \( A \) là điểm tiếp xúc của bánh xe với mặt đất, và \( B \) là điểm tiếp xúc của bánh xe với tường. Khi bánh xe lăn đến tường và hợp với mặt đất một góc 60 độ, tam giác \( OAB \) là tam giác vuông cân tại \( O \) với góc \( \angle AOB = 60^\circ \). Khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe \( O \) đến góc tường là đường cao \( OH \) từ \( O \) đến đường thẳng \( AB \). Vì \( \angle AOB = 60^\circ \), ta có: \[ OH = OA \cdot \sin(60^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{cm}. \] Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là \( 10\sqrt{3} \, \text{cm} \). 2) Để tìm lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( H(x) = 0,025x^2(30-x) \). Trước tiên, ta khai triển hàm số: \[ H(x) = 0,025x^2(30-x) = 0,025(30x^2 - x^3) = 0,75x^2 - 0,025x^3. \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( H(x) \), ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( H(x) \) đạt cực đại. Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm cực trị, nhưng do yêu cầu không sử dụng đạo hàm, ta sẽ sử dụng phương pháp khác. Hàm số \( H(x) = 0,75x^2 - 0,025x^3 \) là một đa thức bậc ba, có dạng \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) với \( a = -0,025 \), \( b = 0,75 \), \( c = 0 \), \( d = 0 \). Để tìm giá trị lớn nhất, ta xét các giá trị biên của \( x \) trong khoảng xác định. Do \( x \) là lượng thuốc, nên \( x \) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 30 (vì \( 30-x \) phải không âm). Ta tính giá trị của \( H(x) \) tại các điểm biên: - \( H(0) = 0,75 \cdot 0^2 - 0,025 \cdot 0^3 = 0 \). - \( H(30) = 0,75 \cdot 30^2 - 0,025 \cdot 30^3 = 0 \). Để tìm giá trị lớn nhất trong khoảng này, ta cần thử một số giá trị giữa 0 và 30. Thông thường, giá trị lớn nhất của hàm bậc ba sẽ nằm gần giữa khoảng. Thử với \( x = 20 \): \[ H(20) = 0,75 \cdot 20^2 - 0,025 \cdot 20^3 = 0,75 \cdot 400 - 0,025 \cdot 8000 = 300 - 200 = 100. \] Thử với \( x = 10 \): \[ H(10) = 0,75 \cdot 10^2 - 0,025 \cdot 10^3 = 0,75 \cdot 100 - 0,025 \cdot 1000 = 75 - 25 = 50. \] Vậy giá trị lớn nhất của \( H(x) \) là 100, đạt được khi \( x = 20 \). Do đó, lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 miligam.