Bài 4. Cho vuông tại , đường cao . Kẻ .
a) Chứng minh rằng ;
b) Gọi là giao điểm của và . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: ;
c) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: ;
d) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và . Chứng minh rằng , thẳng hàng.

Question

Bài 4. Cho   vuông tại  , đường cao  . Kẻ  .
a) Chứng minh rằng  ;
b) Gọi   là giao điểm của   và  . Qua   kẻ đường thẳng song song với   cắt   tại  . Gọi   là giao điểm của   và  . Chứng minh rằng:  ;
c) Gọi   là giao điểm của   và  . Chứng minh rằng:  ;
d) Gọi   là giao điểm của   và   là giao điểm của   và  . Chứng minh rằng  ,   thẳng hàng.

Timi · Accepted Answer

Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng $ \triangle AHB \sim \triangle CHD $:

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta có thể sử dụng tiêu chí góc-góc (AA).

- Xét tam giác $ \triangle AHB $ và $ \triangle CHD $:
  - Vì $ \triangle ABC $ vuông tại $ C $, nên $ \angle ACB = 90^\circ $.
  - Đường cao $ CH $ vuông góc với $ AB $, nên $ \angle AHC = \angle CHD = 90^\circ $.

- Xét góc $ \angle AHB $ và $ \angle CHD $:
  - $ \angle AHB = \angle CHD $ vì chúng là góc đối đỉnh.

Vậy, $ \triangle AHB \sim \triangle CHD $ theo tiêu chí góc-góc (AA).

b) Gọi $ E $ là giao điểm của $ CH $ và $ DE $. Qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $ cắt $ AC $ tại $ F $. Gọi $ G $ là giao điểm của $ BF $ và $ DE $. Chứng minh rằng: $ \triangle AEF \sim \triangle CEG $:

- Vì $ EF \parallel AB $, nên $ \angle AEF = \angle CAB $ (cặp góc so le trong).
- Xét $ \triangle AEF $ và $ \triangle CEG $:
  - $ \angle AEF = \angle CEG $ (vì $ EF \parallel AB $ và $ EG \parallel AB $).
  - $ \angle AFE = \angle CGE $ (vì $ EF \parallel AB $ và $ EG \parallel AB $).

Vậy, $ \triangle AEF \sim \triangle CEG $ theo tiêu chí góc-góc (AA).

c) Gọi $ I $ là giao điểm của $ BF $ và $ CH $. Chứng minh rằng: $ \triangle BFI \sim \triangle CHI $:

- Xét $ \triangle BFI $ và $ \triangle CHI $:
  - $ \angle BFI = \angle CHI $ (vì $ BF \parallel CH $).
  - $ \angle FBI = \angle HCI $ (vì $ BF \parallel CH $).

Vậy, $ \triangle BFI \sim \triangle CHI $ theo tiêu chí góc-góc (AA).

d) Gọi $ J $ là giao điểm của $ AI $ và $ DE $, $ K $ là giao điểm của $ BI $ và $ DE $. Chứng minh rằng $ A, J, K $ thẳng hàng:

- Xét $ \triangle AID $ và $ \triangle BIE $:
  - $ \angle AID = \angle BIE $ (vì $ AI \parallel BI $).
  - $ \angle ADI = \angle BEI $ (vì $ AI \parallel BI $).

- Do đó, $ \triangle AID \sim \triangle BIE $ theo tiêu chí góc-góc (AA).

- Vì $ J $ là giao điểm của $ AI $ và $ DE $, $ K $ là giao điểm của $ BI $ và $ DE $, nên $ A, J, K $ thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.

Bài 4. Cho vuông tại , đường cao . Kẻ . a) Chứng minh rằng ; b) Gọi là giao điểm của và . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng: ; c) Gọi là giao điểm của...