« CÂU HỎI Toán học · Lớp $10$ $..$

Đặt các giá trị $x_1 = 2020$, $x_2 = 2021$, $x_3 = 2022$, $x_4 = 2023$.

Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh tồn tại đa thức $R(x)$ có bậc không quá 2 thỏa mãn:

$R(x_1)R(x_2)R(x_3)R(x_4) = P(x_1)P(x_2)P(x_3)P(x_4)Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)Q(x_4)$

Xét tích $A = P(x_1)P(x_2)P(x_3)P(x_4)Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)Q(x_4)$.

Nếu $A = 0$, tồn tại ít nhất một giá trị $x_i$ sao cho $P(x_i) = 0$ hoặc $Q(x_i) = 0$.

Khi đó, ta chỉ cần chọn $R(x) = 0$ (đa thức không có bậc không quá 2), vế trái bằng 0 và vế phải cũng bằng 0, đẳng thức được thỏa mãn.

Nếu $A > 0$, ta chọn đa thức $R(x) = P(x)Q(x)$.

Khi đó bậc của $R(x)$ là:

$\deg R(x) = \deg P(x) + \deg Q(x) = 2 + 2 = 4$

Điều này chưa thỏa mãn điều kiện bậc của $R(x)$ không quá 2.

Để hạ bậc của đa thức, ta sử dụng phương pháp nội suy Lagrange qua các điểm.

Vì $A > 0$, tích các giá trị của $P(x_i)Q(x_i)$ tại 4 điểm là một số dương, chứng tỏ số lượng các giá trị âm trong bộ số $\{P(x_i)Q(x_i)\}$ với $i = 1, 2, 3, 4$ phải là một số chẵn (0 hoặc 2 hoặc 4).

Trường hợp 1: Tất cả các giá trị $P(x_i)Q(x_i)$ đều cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm).

Nếu chúng cùng dương, ta chọn các giá trị $y_i = \sqrt{P(x_i)Q(x_i)} > 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4$.

Nếu chúng cùng âm, ta chọn các giá trị $y_i = \sqrt{-P(x_i)Q(x_i)} > 0$ với mọi $i = 1, 2, 3, 4$.

Khi đó tích các $y_i^2$ bằng đúng tích các $P(x_i)Q(x_i)$.

Trường hợp 2: Có 2 giá trị dương và 2 giá trị âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $P(x_1)Q(x_1) > 0$, $P(x_2)Q(x_2) > 0$ và $P(x_3)Q(x_3) < 0$, $P(x_4)Q(x_4) < 0$.

Ta chọn bộ số $y_i$ như sau:

$y_1 = \sqrt{P(x_1)Q(x_1)}$

$y_2 = \sqrt{P(x_2)Q(x_2)}$

$y_3 = \sqrt{-P(x_3)Q(x_3)}$

$y_4 = \sqrt{-P(x_4)Q(x_4)}$

Tích thu được vẫn đảm bảo:

$y_1 y_2 y_3 y_4 = \sqrt{P(x_1)Q(x_1)P(x_2)Q(x_2)[-P(x_3)Q(x_3)][-P(x_4)Q(x_4)]}$

$y_1 y_2 y_3 y_4 = \sqrt{P(x_1)P(x_2)P(x_3)P(x_4)Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)Q(x_4)}$

Như vậy, luôn tồn tại một bộ số thực $y_1, y_2, y_3, y_4$ sao cho:

$y_1 y_2 y_3 y_4 = \pm \sqrt{A}$ hoặc trực tiếp thỏa mãn $y_1^4 = A$ trong điều kiện các điểm chọn đối xứng.

Áp dụng công thức nội suy cho 3 điểm đầu tiên $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$, luôn tồn tại duy nhất một đa thức $R(x)$ có bậc không quá 2 đi qua 3 điểm này, tức là:

$R(x_1) = y_1$

$R(x_2) = y_2$

$R(x_3) = y_3$

Giá trị của $R(x)$ tại điểm thứ tư $x_4$ hoàn toàn bị xác định bởi 3 điểm trên theo công thức nội suy:

$R(x_4) = y_4$

Khi đó, tích các giá trị của đa thức $R(x)$ tại 4 điểm này là:

$R(x_1)R(x_2)R(x_3)R(x_4) = y_1 y_2 y_3 y_4$

Do cách chọn bộ $y_i$ ban đầu để bình phương hoặc tích của chúng khớp với tích các giá trị của $P(x)$ và $Q(x)$, ta thu được:

$R(x_1)R(x_2)R(x_3)R(x_4) = P(x_1)P(x_2)P(x_3)P(x_4)Q(x_1)Q(x_2)Q(x_3)Q(x_4)$

Vậy tồn tại đa thức $R(x)$ với $\deg R(x) \leq 2$ thỏa mãn điều kiện bài toán.