Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{a + 2b^2} + \frac{b^2}{b + 2c^2} + \frac{c^2}{c + 2a^2} \ge 1$

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số

Xét hạng tử đầu tiên, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương ở mẫu là $a$ và $2b^2$, ta có:

$a + 2b^2 \ge 2\sqrt{a \cdot 2b^2} = 2b\sqrt{2a}$

Suy ra:

$\frac{2ab^2}{a + 2b^2} \le \frac{2ab^2}{2b\sqrt{2a}} = \frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{2}} = b\sqrt{\frac{a}{2}}$

Vì có dấu trừ đứng trước, bất đẳng thức đổi chiều thành:

$\frac{a^2}{a + 2b^2} = a - \frac{2ab^2}{a + 2b^2} \ge a - b\sqrt{\frac{a}{2}} \quad (1)$

Bước 2: Tương tự cho các hạng tử còn lại và cộng vế

Chứng minh tương tự với hai phân thức còn lại, ta được:

$\frac{b^2}{b + 2c^2} \ge b - c\sqrt{\frac{b}{2}} \quad (2)$

$\frac{c^2}{c + 2a^2} \ge c - a\sqrt{\frac{c}{2}} \quad (3)$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức $(1)$, $(2)$ và $(3)$, ta thu được vế trái (VT):

$VT \ge (a + b + c) - \frac{1}{\sqrt{2}}\left(b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c}\right)$

Thay giả thiết $a + b + c = 3$ vào, ta có:

$VT \ge 3 - \frac{1}{\sqrt{2}}\left(b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c}\right) \quad (*)$

Bước 3: Đánh giá đại lượng còn lại bằng bất đẳng thức phụ

Bây giờ mục tiêu của chúng ta là chứng minh: $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c}\right) \le 2$ để đưa VT về $\ge 1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (hoặc AM-GM thích hợp), ta biến đổi cụm biểu thức bằng cách khéo léo đưa căn vào tích:

$b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} + \sqrt{c} \cdot \sqrt{bc} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{ca}$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\left(\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab} + \sqrt{c} \cdot \sqrt{bc} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{ca}\right)^2 \le (b + c + a)(ab + bc + ca)$

Do đó:

$b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c} \le \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)} = \sqrt{3(ab+bc+ca)}$

Mặt khác, ta luôn có bất đẳng thức phụ quen thuộc: $ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{3^2}{3} = 3$.

Thay vào biểu thức căn, ta được:

$b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c} \le \sqrt{3 \cdot 3} = 3$

Bước 4: Hoàn tất chứng minh

Thay kết quả vừa đánh giá vào bất đẳng thức $(*)$:

$VT \ge 3 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 3 = 3\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Đến đây ta thấy việc đánh giá bằng Cauchy-Schwarz trực tiếp chưa đủ chặt vì kết quả ra khoảng $0.878 < 1$. Ta cần tinh chỉnh lại cách áp dụng AM-GM ở Bước 3 để biểu thức chặt hơn:

Sửa lại Bước 3 (Dùng AM-GM tinh tế hơn):

Ta có: $b\sqrt{a} = \sqrt{ab \cdot b}$

Áp dụng AM-GM dạng $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$:

$b\sqrt{a} = \sqrt{ab \cdot b} \le \frac{ab + b}{2}$

Tương tự:

$c\sqrt{b} = \sqrt{bc \cdot c} \le \frac{bc + c}{2}$

$a\sqrt{c} = \sqrt{ca \cdot a} \le \frac{ca + a}{2}$

Cộng ba biểu thức này lại:

$b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c} \le \frac{ab+bc+ca + a+b+c}{2}$

Biết rằng $ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3} = 3$ và $a+b+c = 3$. Do đó:

$b\sqrt{a} + c\sqrt{b} + a\sqrt{c} \le \frac{3 + 3}{2} = 3$