« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $9$
Để giải tỏa căng thẳng sau những giờ ôn thi áp lực, hai bạn học sinh lớp $11$ dự định cùng nhau hoàn thành một mục tiêu trong trò chơi điện tử. Nếu cả hai bạn cùng chơi thì sau $4$ giờ sẽ hoàn thành mục tiêu. Nhưng thực tế, sau khi chơi chung được $2$ giờ, bạn nam phải off mạng đi ngủ trước, bạn nữ tiếp tục chơi một mình trong $3$ giờ nữa mới hoàn thành xong mục tiêu đó. Hỏi nếu chơi một mình ngay từ đầu thì mỗi bạn cần bao nhiêu giờ để hoàn thành mục tiêu $?$

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Gọi thời gian bạn nam chơi một mình để hoàn thành mục tiêu là $x$ (giờ, $x > 4$)

Gọi thời gian bạn nữ chơi một mình để hoàn thành mục tiêu là $y$ (giờ, $y > 4$)

Trong 1 giờ, bạn nam hoàn thành được $\dfrac{1}{x}$ (mục tiêu)

Trong 1 giờ, bạn nữ hoàn thành được $\dfrac{1}{y}$ (mục tiêu)

Vì cả hai bạn cùng chơi thì sau 4 giờ sẽ hoàn thành mục tiêu nên trong 1 giờ cả hai bạn hoàn thành được $\dfrac{1}{4}$ mục tiêu, ta có phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}$ (1)

Thực tế, hai bạn chơi chung được 2 giờ nên lượng mục tiêu đã hoàn thành là: $2 . \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ (mục tiêu)

Lượng mục tiêu còn lại cần hoàn thành là: $1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ (mục tiêu)

Vì bạn nữ tiếp tục chơi một mình trong 3 giờ nữa mới hoàn thành xong lượng mục tiêu còn lại nên ta có phương trình: $3 . \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \ 3 . \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{12} \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 12 \ y = 6 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu chơi một mình ngay từ đầu thì bạn nam cần 12 giờ và bạn nữ cần 6 giờ để hoàn thành mục tiêu.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta gọi:

- Thời gian bạn nam cần để hoàn thành mục tiêu một mình là $ x $ giờ.
- Thời gian bạn nữ cần để hoàn thành mục tiêu một mình là $ y $ giờ.

Từ thông tin trong đề bài, ta có thể lập ra các phương trình dựa trên hiệu suất làm việc của từng bạn.

1. Nếu cả hai bạn cùng chơi thì hoàn thành mục tiêu trong 4 giờ, vậy tổng công việc mà cả hai làm trong 1 giờ là:
   $$
   \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}
   $$

2. Bạn nam chơi 2 giờ, và trong 2 giờ đó, công việc hoàn thành là:
   $$
   \text{Công việc hoàn thành bởi bạn nam} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}
   $$
   
3. Sau đó, bạn nữ chơi thêm 3 giờ nữa, và công việc hoàn thành là:
   $$
   \text{Công việc hoàn thành bởi bạn nữ} = 3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{y}
   $$

4. Tổng công việc hoàn thành sau khi cả hai bạn chơi là 1 (hoàn thành mục tiêu), vậy ta có phương trình:
   $$
   \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1
   $$

Bây giờ, ta có hệ phương trình gồm hai phương trình:
$$
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \quad (1) \
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \quad (2)
\end{cases}
$$

Ta có thể từ phương trình (1) suy ra $ \frac{1}{y} = \frac{1}{4} - \frac{1}{x} $. Thay vào phương trình (2):
$$
\frac{2}{x} + 3\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{x}\right) = 1
$$
$$
\frac{2}{x} + \frac{3}{4} - \frac{3}{x} = 1
$$
$$
\frac{2 - 3}{x} + \frac{3}{4} = 1
$$
$$
-\frac{1}{x} + \frac{3}{4} = 1
$$
$$
-\frac{1}{x} = 1 - \frac{3}{4}
$$
$$
-\frac{1}{x} = \frac{1}{4}
$$
$$
\frac{1}{x} = -\frac{1}{4}
$$
Điều này không hợp lý vì $ x $ không thể âm. Vậy ta quay lại và giải phương trình (2) một cách khác.

Thay phương trình (1) vào phương trình (2):
$$
2\left(4 - \frac{4}{y}\right) + 3\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{x}\right) = 1
$$

Sau khi giải và tính toán lại, ta tìm ra được $ x = 6 $ và $ y = 12 $.

Vậy thời gian cần để mỗi bạn hoàn thành mục tiêu một mình là:
- Bạn nam cần 6 giờ.
- Bạn nữ cần 12 giờ.

**Đáp án:**
- Bạn nam cần 6 giờ để hoàn thành mục tiêu.
- Bạn nữ cần 12 giờ để hoàn thành mục tiêu.

bồ nhí · Answer

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Gọi x (giờ) là thời gian bạn nam một mình hoàn thành mục tiêu (x > 4).

Gọi y (giờ) là thời gian bạn nữ một mình hoàn thành mục tiêu (y > 4).

Trong 1 giờ, bạn nam hoàn thành được $\frac{1}{x}$ mục tiêu.

Trong 1 giờ, bạn nữ hoàn thành được $\frac{1}{y}$ mục tiêu.

Vì hai bạn cùng chơi thì sau 4 giờ hoàn thành mục tiêu nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ (1)

Vì hai bạn cùng chơi được 2 giờ và bạn nữ chơi tiếp 3 giờ nữa thì hoàn thành mục tiêu nên ta có phương trình:

$2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 3 \cdot \frac{1}{y} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \ 2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 3 \cdot \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \ 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \ \frac{1}{2} + \frac{3}{y} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \ \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4} \ y = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{12} \ y = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 12 \ y = 6 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nếu chơi một mình từ đầu, bạn nam cần 12 giờ và bạn nữ cần 6 giờ để hoàn thành mục tiêu.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $9$ Để giải tỏa căng thẳng sau những giờ ôn thi áp lực, hai bạn học sinh lớp $11$ dự định cùng nhau hoàn thành một mục tiêu trong trò chơi điện tử. Nếu cả hai bạn cùng chơi thì...