Bài toán
Một gia đình dự định làm một bể chứa nước bằng kính hình hộp chữ nhật không có nắp, có thể tích bằng $4\text{ m}^3$, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết giá tiền kính làm đáy bể là $200$ nghìn đồng$/m^2$, giá tiền kính làm thành bể (bốn mặt bên) là $150$ nghìn đồng$/m^2.$Tìm các kích thước của bể (chiều rộng, chiều dài, chiều cao) để chi phí mua kính là thấp nhất?

Question

Bài toán 
Một gia đình dự định làm một bể chứa nước bằng kính hình hộp chữ nhật không có nắp, có thể tích bằng $4\text{ m}^3$, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết giá tiền kính làm đáy bể là $200$ nghìn đồng$/m^2$, giá tiền kính làm thành bể (bốn mặt bên) là $150$ nghìn đồng$/m^2.$Tìm các kích thước của bể (chiều rộng, chiều dài, chiều cao) để chi phí mua kính là thấp nhất?

starmennn · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ đặt các ký hiệu cho các kích thước của bể chứa nước.

Gọi:
- Chiều rộng của bể là $ x $ (m).
- Chiều dài của bể là $ 2x $ (m) (vì chiều dài gấp đôi chiều rộng).
- Chiều cao của bể là $ h $ (m).

Theo đề bài, thể tích của bể là $ 4 \text{ m}^3 $, do đó ta có công thức:

$$
V = x \cdot (2x) \cdot h = 4
$$

Từ đó, ta có:

$$
2x^2h = 4 \implies h = \frac{4}{2x^2} = \frac{2}{x^2}
$$

Tiếp theo, chúng ta tính diện tích bề mặt cần sử dụng kính để xây dựng bể. Bể không có nắp nên diện tích kính cần thiết sẽ bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên.

1. **Diện tích đáy**:
$$
A_{đáy} = x \cdot (2x) = 2x^2
$$

2. **Diện tích bốn mặt bên**:
$$
A_{bên} = 2(h \cdot x + h \cdot 2x) = 2h(x + 2x) = 2h(3x) = 6hx
$$

Thay $ h = \frac{2}{x^2} $ vào công thức diện tích bốn mặt bên:

$$
A_{bên} = 6 \cdot \frac{2}{x^2} \cdot x = \frac{12}{x}
$$

Tổng diện tích kính cần thiết là:

$$
A = A_{đáy} + A_{bên} = 2x^2 + \frac{12}{x}
$$

**Chi phí mua kính:**

- Chi phí kính làm đáy bể là $ 200 $ nghìn đồng/m².
- Chi phí kính làm thành bể là $ 150 $ nghìn đồng/m².

Do đó, tổng chi phí $ C $ sẽ là:

$$
C = 200 \cdot A_{đáy} + 150 \cdot A_{bên} = 200(2x^2) + 150\left(\frac{12}{x}\right)
$$

Tính chi phí:

$$
C = 400x^2 + \frac{1800}{x}
$$

**Tối ưu chi phí:**

Để tìm giá trị tối ưu, ta sẽ tìm đạo hàm của $ C $ theo $ x $ và đặt bằng 0:

$$
\frac{dC}{dx} = 800x - \frac{1800}{x^2}
$$

Đặt đạo hàm bằng 0:

$$
800x - \frac{1800}{x^2} = 0
$$

Giải phương trình trên:

$$
800x = \frac{1800}{x^2} \implies 800x^3 = 1800 \implies x^3 = \frac{1800}{800} = \frac{9}{4} \implies x = \sqrt[3]{\frac{9}{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \approx 1.5 \text{ m}
$$

**Tính các kích thước còn lại:**

Chiều dài $ l = 2x = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \approx 3 \text{ m} $.

Chiều cao $ h $:

$$
h = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{\left(\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\right)^2} = \frac{2 \cdot 4^{2/3}}{9} \approx 0.89 \text{ m}
$$

**Kết luận:**

Các kích thước tối ưu của bể chứa nước là:

- Chiều rộng: $ x \approx 1.5 \text{ m} $
- Chiều dài: $ l \approx 3 \text{ m} $
- Chiều cao: $ h \approx 0.89 \text{ m} $

Chi phí mua kính sẽ được tối ưu với các kích thước này.

ft. Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ext{Kích thước bể} & ext{Chiều rộng (m)} & ext{Chiều dài (m)} & ext{Chiều cao (m)} \ \hline ext{Giá trị} & x & 2x & h = \dfrac{2}{x^2} \ \hline \end{array}$

Gọi chiều rộng của bể chứa nước hình hộp chữ nhật là $x$ (m, $x > 0$)

Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của bể là: $2x$ (m)

Gọi chiều cao của bể là $h$ (m, $h > 0$)

Thể tích của bể là $4$ $m^3$ nên ta có: $x . 2x . h = 4 \Leftrightarrow 2x^2h = 4 \Leftrightarrow h = \dfrac{2}{x^2}$

Diện tích phần đáy bể (một mặt đáy hình chữ nhật) là: $x . 2x = 2x^2$ ($m^2$)

Chi phí mua kính làm đáy bể là: $2x^2 . 200 = 400x^2$ (nghìn đồng)

Diện tích phần thành bể (bốn mặt bên gồm hai mặt bên kích thước $x imes h$ và hai mặt bên kích thước $2x imes h$) là: $2 . (x . h) + 2 . (2x . h) = 6xh$ ($m^2$)

Thay $h = \dfrac{2}{x^2}$ vào diện tích thành bể, ta được: $6x . \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{12}{x}$ ($m^2$)

Chi phí mua kính làm thành bể là: $\dfrac{12}{x} . 150 = \dfrac{1800}{x}$ (nghìn đồng)

Tổng chi phí mua kính để làm bể nước là: $T = 400x^2 + \dfrac{1800}{x}$ (nghìn đồng)

Ta có thể tách tổng chi phí để áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương như sau:

$T = 400x^2 + \dfrac{900}{x} + \dfrac{900}{x} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{400x^2 \cdot \dfrac{900}{x} \cdot \dfrac{900}{x}} = 3 \cdot \sqrt[3]{324000000} = 3 \cdot 300 \sqrt[3]{12} = 900 \sqrt[3]{12}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $400x^2 = \dfrac{900}{x} \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{900}{400} \Leftrightarrow x^3 = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$ (thỏa mãn điều kiện)

Khi đó chiều rộng của bể là: $x = \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$ m

Chiều dài của bể là: $2x = 2\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$ m

Chiều cao của bể là: $h = \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{2}{\left(\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}} ight)^2} = \dfrac{2}{\sqrt[3]{\dfrac{81}{16}}} = \dfrac{2}{\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}$ m

Vậy các kích thước của bể để chi phí mua kính thấp nhất là chiều rộng $\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$ m, chiều dài $2\sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$ m, chiều cao $\dfrac{4}{3}\sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}$ m.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

1. Tóm tắt các giả thiết

• Hình dáng: Hình hộp chữ nhật không nắp.

• Thể tích ($V$): $4\text{ m}^3$.

• Kích thước: Chiều dài ($l$) gấp đôi chiều rộng ($w$) $\Rightarrow l = 2w$.

• Gọi chiều cao là $h$.

• Giá kính đáy: $200.000\text{ đ/m}^2$.

• Giá kính bốn mặt bên: $150.000\text{ đ/m}^2$.

________________________________________

2. Thiết lập hàm chi phí

Từ công thức thể tích:

$V=l\cdot w\cdot h=2w\cdot w\cdot h=2w^{2}h=4\Rightarrow h=\frac{4}{2w^{2}}=\frac{2}{w^{2}}$

Diện tích các mặt:

• Diện tích đáy: $S_{\text{đáy}} = l \cdot w = 2w^2$

• Diện tích bốn mặt bên: $S_{\text{bên}} = 2(l + w)h = 2(2w + w)h = 6wh$

Hàm tổng chi phí ($T$) tính theo nghìn đồng:

$T=200\cdot S_{\text{đáy}}+150\cdot S_{\text{bên}}$

$T=200(2w^{2})+150(6wh)=400w^{2}+900wh$

Thay $h = \frac{2}{w^2}$ vào biểu thức trên:

$T(w)=400w^{2}+900w\cdot \left(\frac{2}{w^{2}}\right)=400w^{2}+\frac{1800}{w}$

________________________________________

3. Tìm kích thước để chi phí thấp nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $T(w)$, ta tính đạo hàm $T'(w)$:

$T^{\prime }(w)=800w-\frac{1800}{w^{2}}$

Cho $T'(w) = 0$:

$800w=\frac{1800}{w^{2}}\Rightarrow w^{3}=\frac{1800}{800}=2,25$

$w=\sqrt[3]{2,25}\approx 1,31\text{\ (m)}$

Tính các kích thước còn lại:

• Chiều rộng ($w$): $\sqrt[3]{2,25} \text{ m}$ (xấp xỉ $1,31\text{ m}$)

• Chiều dài ($l$): $2 \cdot \sqrt[3]{2,25} \text{ m}$ (xấp xỉ $2,62\text{ m}$)

• Chiều cao ($h$): $\frac{2}{(\sqrt[3]{2,25})^2} \text{ m}$ (xấp xỉ $1,16\text{ m}$)

________________________________________

Kết luận:

Để chi phí mua kính là thấp nhất, các kích thước của bể cần là:

• Chiều rộng: $\approx 1,31\text{ m}$

• Chiều dài: $\approx 2,62\text{ m}$

• Chiều cao: $\approx 1,16\text{ m}$

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Gọi chiều rộng đáy bể là $x$ ($x > 0$, mét).

Chiều dài đáy bể là $2x$ (mét).

Chiều cao bể là $h$ ($h > 0$, mét).

$V = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2h = 4$

$\Rightarrow h = \frac{2}{x^2}$

Chi phí mua kính (nghìn đồng):

$C = 200 \cdot (2x \cdot x) + 150 \cdot (2xh + 4xh)$

$= 400x^2 + 900xh$

$= 400x^2 + 900x \cdot \frac{2}{x^2}$

$= 400x^2 + \frac{1800}{x}$

$= 400x^2 + \frac{900}{x} + \frac{900}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$C \ge 3\sqrt[3]{400x^2 \cdot \frac{900}{x} \cdot \frac{900}{x}} = 300\sqrt[3]{324}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$400x^2 = \frac{900}{x}$

$\Rightarrow x^3 = \frac{9}{4}$

$\Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \approx 1,31$ mét.

Kích thước bể:

Chiều rộng: $x = \sqrt[3]{\frac{9}{4}} \approx 1,31$ mét.

Chiều dài: $2x = 2\sqrt[3]{\frac{9}{4}} \approx 2,62$ mét.

Chiều cao: $h = \frac{2}{\left(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\right)^2} \approx 1,16$ mét.

Bài toán Một gia đình dự định làm một bể chứa nước bằng kính hình hộp chữ nhật không có nắp, có thể tích bằng \(4\text{ m}^3\), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết giá tiền kính làm đáy bể là \(200\) n...