Bài 1: Giải phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{2}$

Bài 2: Giải phương trình: $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{48}{x^2} = 10\left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{4}{x} \right)$

Bài 3: Giải phương trình: $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4x+4} + \dfrac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4} = \dfrac{34}{15}$

Bài 4: Giải phương trình: $\dfrac{x^2-2x+2}{x-1} + \dfrac{x^2-4x+5}{x-2} = \dfrac{x^2-6x+10}{x-3} + \dfrac{x^2-8x+17}{x-4}$

Bài 5: Giải phương trình: $\dfrac{4x}{x^2+x+3} + \dfrac{5x}{x^2-5x+3} = -\dfrac{3}{2}$

Question

Bài 1: Giải phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{2}$

Bài 2: Giải phương trình: $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{48}{x^2} = 10\left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{4}{x} \right)$

Bài 3: Giải phương trình: $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4x+4} + \dfrac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4} = \dfrac{34}{15}$

Bài 4: Giải phương trình: $\dfrac{x^2-2x+2}{x-1} + \dfrac{x^2-4x+5}{x-2} = \dfrac{x^2-6x+10}{x-3} + \dfrac{x^2-8x+17}{x-4}$

Bài 5: Giải phương trình: $\dfrac{4x}{x^2+x+3} + \dfrac{5x}{x^2-5x+3} = -\dfrac{3}{2}$

hanhan · Accepted Answer

Điều kiện xác định:

$\begin{cases} x eq 0 \ 1 - x^2 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x eq 0 \ -1 < x < 1 \end{cases}$

Đặt $y = \sqrt{1 - x^2}$ (với $0 < y \le 1, y eq 1$ do $x eq 0$)

Suy ra $x^2 + y^2 = 1$

Phương trình ban đầu trở thành:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\sqrt{2}$

$\frac{x + y}{xy} = 2\sqrt{2}$

$x + y = 2\sqrt{2}xy$

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được:

$(x + y)^2 = 8x^2y^2$

$x^2 + y^2 + 2xy = 8x^2y^2$

Thay $x^2 + y^2 = 1$ vào phương trình, ta được:

$1 + 2xy = 8x^2y^2$

$8(xy)^2 - 2(xy) - 1 = 0$

$8(xy)^2 - 4(xy) + 2(xy) - 1 = 0$

$4xy(2xy - 1) + (2xy - 1) = 0$

$(4xy + 1)(2xy - 1) = 0$

Trường hợp 1: $4xy + 1 = 0$

$xy = -\frac{1}{4}$

Khi đó $x + y = 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{4} ight) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \ xy = -\frac{1}{4} \end{cases}$

Do đó $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình:

$T^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}T - \frac{1}{4} = 0$

$4T^2 + 2\sqrt{2}T - 1 = 0$

Biệt thức delta phẩy:

$\Delta' = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot (-1) = 6$

Suy ra phương trình có hai nghiệm:

$T = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ hoặc $T = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Vì $y > 0$ nên ta chọn $y = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Suy ra $x = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ (thỏa mãn điều kiện $-1 < x < 1$)

Trường hợp 2: $2xy - 1 = 0$

$xy = \frac{1}{2}$

Khi đó $x + y = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2}$

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = \sqrt{2} \ xy = \frac{1}{2} \end{cases}$

Do đó $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình:

$T^2 - \sqrt{2}T + \frac{1}{2} = 0$

$\left(T - \frac{\sqrt{2}}{2} ight)^2 = 0$

$T = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $-1 < x < 1$)

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $x = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Timi · Answer

**Bài 1:** Giải phương trình: 
$$
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{2}
$$

Đầu tiên, nhân cả hai vế với $ x\sqrt{1-x^2} $ (chú ý rằng $ x \neq 0 $ và $ 1-x^2 > 0 $):
$$
\sqrt{1-x^2} + x = 2\sqrt{2} x\sqrt{1-x^2}
$$

Đặt $ y = \sqrt{1-x^2} $, từ đó $ x^2 + y^2 = 1 $. Phương trình trở thành:
$$
y + \sqrt{1-y^2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1-y^2} \cdot y
$$

Giải phương trình này cho $ y $, sau đó thay trở lại để tìm $ x $.

**Bài 2:** Giải phương trình: 
$$
\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{48}{x^2} = 10\left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{4}{x} \right)
$$

Nhân cả hai vế với $ 3x^2 $:
$$
x^4 + 144 = 10x^3 - 120
$$
Sắp xếp lại:
$$
x^4 - 10x^3 + 264 = 0
$$

Sử dụng phương pháp tìm nghiệm hoặc định lý Viète để tìm nghiệm của đa thức này.

**Bài 3:** Giải phương trình: 
$$
\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4x+4} + \dfrac{x^2-4x+4}{x^2+4x+4} = \dfrac{34}{15}
$$

Đặt $ a = x^2 + 4x + 4 $ và $ b = x^2 - 4x + 4 $. Phương trình trở thành:
$$
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{34}{15}
$$
Nhân cả hai vế với $ ab $:
$$
a^2 + b^2 = \dfrac{34}{15} ab
$$
Thay $ a $ và $ b $ trở lại và giải phương trình.

**Bài 4:** Giải phương trình: 
$$
\dfrac{x^2-2x+2}{x-1} + \dfrac{x^2-4x+5}{x-2} = \dfrac{x^2-6x+10}{x-3} + \dfrac{x^2-8x+17}{x-4}
$$

Nhân cả hai vế với $ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) $ để loại bỏ mẫu:
$$
(x^2-2x+2)(x-2)(x-3)(x-4) + (x^2-4x+5)(x-1)(x-3)(x-4) = (x^2-6x+10)(x-1)(x-2)(x-4) + (x^2-8x+17)(x-1)(x-2)(x-3)
$$

Giải phương trình đa thức sau khi rút gọn.

**Bài 5:** Giải phương trình: 
$$
\dfrac{4x}{x^2+x+3} + \dfrac{5x}{x^2-5x+3} = -\dfrac{3}{2}
$$

Nhân cả hai vế với $ 2(x^2+x+3)(x^2-5x+3) $:
$$
8x(x^2-5x+3) + 10x(x^2+x+3) = -3(x^2+x+3)(x^2-5x+3)
$$

Rút gọn và giải phương trình đa thức.

Sau khi giải tất cả các bài, nếu cần trợ giúp cụ thể hơn cho từng bài, xin hãy cho biết!

Bài 1: Giải phương trình: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{2}$ Bài 2: Giải phương trình: $\dfrac{x^2}{3} + \dfrac{48}{x^2} = 10\left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{4}{x} \right)$ Bài 3: Giải...