« CÂU HỎI
Toán học · Lớp 9
... Câu 31. Một khay hình trụ có bán kính đáy bằng 8 cm, đựng đầy được 1 lít nước. Người ta thả một viên bi,sắt hình cầu vào khay đã đựng đầy nước. Biết rằng viên bi chạm đáy của khay và lượng nước tràn ra ngoài,khay có thể tích bằng một nửa thể tích của viên bi. Thể tích phần nước bị tràn ra ngoài khay bằng bao nhiêu,(làm tròn đến hàng đơn vị của $cm^3,$ với $\pi\approx3,14)?$,$A.~V=515~cm^3.$ $B.~V=82~cm^3.$ $C.~V=258~cm^3.$ $D.~V=145~cm^3.$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

1. Phân tích đề bài

• Khay hình trụ: Bán kính đáy $R = 8\text{ cm}$. Đựng đầy được $1\text{ lít} = 1000\text{ cm}^3$ nước.

• Viên bi sắt hình cầu: Thả vào khay đầy nước, viên bi chạm đáy.

• Hiện tượng: Nước tràn ra ngoài.

• Dữ kiện quan trọng: Thể tích nước tràn ra ngoài bằng một nửa thể tích viên bi ($V_{tràn} = \frac{1}{2} V_{bi}$).

• Yêu cầu: Tính thể tích nước tràn ra ($V_{tràn}$).

________________________________________

2. Giải quyết vấn đề

Khi thả một vật vào khay nước đầy, lượng nước tràn ra thường bằng thể tích phần vật chìm trong nước. Tuy nhiên, đề bài cho biết $V_{tràn} = \frac{1}{2} V_{bi}$. Điều này có nghĩa là chỉ có một nửa viên bi nằm trong khay nước, nửa còn lại nằm phía trên miệng khay.

Vì viên bi chạm đáy khay, nên chiều cao của khay ($h$) đúng bằng bán kính của viên bi ($r$):

$h=r$

Bước 1: Tính chiều cao của khay ($h$)

Thể tích khối trụ được tính bằng công thức: $V_{trụ} = \pi R^2 h$

Theo đề bài:

$1000\approx 3,14\cdot 8^{2}\cdot h$

$1000\approx 3,14\cdot 64\cdot h$

$1000\approx 200,96\cdot h$

$h\approx \frac{1000}{200,96}\approx 4,976\text{ cm}$

Bước 2: Tính thể tích viên bi ($V_{bi}$)

Vì viên bi chạm đáy và một nửa nằm trong khay, nên bán kính viên bi $r = h \approx 4,976\text{ cm}$.

Công thức thể tích hình cầu:

$V_{bi}=\frac{4}{3}\pi r^{3}\approx \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot (4,976)^{3}$

$V_{bi}\approx \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot 123,21\approx 515,8\text{\ cm}^{3}$

Bước 3: Tính thể tích nước tràn ra ($V_{tràn}$)

Theo đề bài:

$V_{tràn}=\frac{1}{2}V_{bi}\approx \frac{1}{2}\cdot 515,8\approx 257,9\text{ cm}^{3}$

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được $V \approx 258\text{ cm}^3$.

________________________________________

Kết luận

Đáp án đúng là C. $V = 258\text{ cm}^3$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm thể tích của viên bi và từ đó tính được thể tích nước bị tràn ra ngoài.

1. **Tính thể tích của khay trụ:**
   - Bán kính đáy của khay $ r = 8 $ cm.
   - Thể tích khay trụ $ V_{trụ} = \pi r^2 h $ với $ h $ là chiều cao.
   - Khay này chứa 1 lít nước, tức là $ 1000 $ cm³.

Vì $ V_{trụ} = 1000 $ cm³, chúng ta có:
   $$
   1000 = \pi \cdot 8^2 \cdot h
   $$
   $$
   1000 = \pi \cdot 64 \cdot h
   $$
   Sử dụng $ \pi \approx 3.14 $:
   $$
   1000 = 3.14 \cdot 64 \cdot h
   $$
   $$
   1000 = 200.96h
   $$
   Từ đó, tính được $ h $:
   $$
   h \approx \frac{1000}{200.96} \approx 4.97 \text{ cm}
   $$

2. **Tính thể tích viên bi:**
   - Gọi bán kính viên bi là $ R $.
   - Thể tích của viên bi là $ V_{bi} = \frac{4}{3} \pi R^3 $.

3. **Tính thể tích nước bị tràn ra ngoài:**
   - Theo đề bài, thể tích nước tràn ra ngoài bằng một nửa thể tích viên bi:
   $$
   V_{tràn} = \frac{1}{2} V_{bi} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3
   $$

4. **Cách tính $ R $:**
   - Tổng thể tích nước trong khay trước khi thả viên bi là 1000 cm³. Khi thả viên bi vào khay, thể tích nước sẽ tăng thêm thể tích viên bi, nhưng nước sẽ tràn ra ngoài một lượng bằng một nửa thể tích viên bi.
   - Do đó, chúng ta có mối liên hệ:
   $$
   1000 + V_{bi} - V_{tràn} = V_{trụ}
   $$
   $$
   1000 + V_{bi} - \frac{1}{2} V_{bi} = 1000
   $$
   Vậy có:
   $$
   V_{bi} - \frac{1}{2} V_{bi} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} V_{bi} = 0
   $$

Vậy, thể tích nước tràn ra:
   $$
   V_{tràn} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{1}{2} V_{bi}
   $$

5. **Giả định viên bi có thể tích nào đó và tính ra:**
   - Chọn thể tích viên bi là một giá trị nào đó và kiểm tra các lựa chọn.
   - Tính toán cho thể tích cụ thể cho từng lựa chọn cho đến khi tìm ra giá trị chính xác.

**Giải theo lựa chọn:**
Dựa vào thể tích nước tràn ra bằng $ 258 \text{ cm}^3 $:
$$
V_{tràn} = \frac{2}{3} \pi R^3 \approx 258 \text{ cm}^3
$$

Cuối cùng, từ các lựa chọn đã đưa ra, lựa chọn đúng là:

**Câu trả lời: C. $ V = 258~cm^3 $**.

ft. Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Ta có: Đổi $1$ lít $= 1000$ $cm^3$

Chiều cao của khay hình trụ là: $h = \frac{V_{tru}}{\pi . R^2} = \frac{1000}{3,14 . 8^2} \approx 4,976$ $cm$

Vì viên bi sắt hình cầu chạm đáy của khay và lượng nước tràn ra ngoài bằng một nửa thể tích viên bi, suy ra một nửa viên bi nằm ngập trong khay nước và một nửa viên bi nằm ở phía trên thành khay.

Do đó, bán kính của viên bi sắt hình cầu chính bằng chiều cao của khay hình trụ: $r = h \approx 4,976$ $cm$

Thể tích của viên bi sắt hình cầu là: $V_{cau} = \frac{4}{3} . \pi . r^3 = \frac{4}{3} . 3,14 . 4,976^3 \approx 516,33$ $cm^3$

Thể tích phần nước bị tràn ra ngoài khay là: $V = \frac{1}{2} . V_{cau} = \frac{1}{2} . 516,33 \approx 258$ $cm^3$

Chọn C

Huycindy · Answer

Đổi: $1	ext{ lít} = 1000	ext{ cm}^3$.
Gọi $h$ là chiều cao của khay hình trụ. Ta có:
$V_{	ext{trụ}} = \pi \cdot 8^2 \cdot h = 1000$
Chiều cao của khay hình trụ là:
$h = \dfrac{1000}{64\pi} = \dfrac{125}{8\pi}	ext{ cm}$
Do viên bi chạm đáy và nước tràn ra bằng nửa thể tích viên bi nên viên bi ngập một nửa. Khi đó, bán kính viên bi $r$ bằng chiều cao khay trụ:
$r = h = \dfrac{125}{8\pi}	ext{ cm}$
Thể tích phần nước bị tràn ra ngoài là:
$V_{	ext{tràn}} = \dfrac{1}{2} V_{	ext{bi}} = \dfrac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
$V_{	ext{tràn}} = \dfrac{2}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{125}{8\pi}ight)^3$
$V_{	ext{tràn}} = \dfrac{2}{3} \cdot \pi \cdot \dfrac{1953125}{512\pi^3}$
$V_{	ext{tràn}} = \dfrac{1953125}{768\pi^2} \approx 258	ext{ cm}^3$
$\Rightarrow C$

Winnie · Answer

Gọi bán kính đáy khay là R = 8 cm, thể tích khay đựng đầy nước là V_khay = 1 lít = 1000 cm3.

Chiều cao của khay hình trụ được tính từ công thức thể tích: V_khay = pi . R^2 . h 1000 = 3,14 . 8^2 . h h = 1000 / (3,14 . 64) xấp xỉ 4,974 cm.

Gọi r là bán kính của viên bi hình cầu. Vì viên bi chạm đáy khay và lượng nước tràn ra bằng một nửa thể tích viên bi, điều này có nghĩa là viên bi không chìm hoàn toàn mà chỉ có một phần chìm trong nước. Chiều cao phần chìm đúng bằng chiều cao h của khay.

Thể tích phần viên bi chìm trong nước chính là thể tích nước tràn ra. Theo đề bài, phần này bằng một nửa thể tích viên bi: V_tran = 1/2 . V_bi

Do phần chìm bằng đúng một nửa viên bi, mặt nước phải cắt ngang qua tâm viên bi. Suy ra bán kính viên bi đúng bằng chiều cao của khay: r = h xấp xỉ 4,974 cm.

Thể tích phần nước tràn ra ngoài là: V_tran = 1/2 . (4/3 . pi . r^3) = 2/3 . pi . r^3 V_tran = 2/3 . 3,14 . (4,974)^3 xấp xỉ 257,8 cm3.

Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 258 cm3.

Đáp án đúng là C. V = 258 cm3.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp 9 ...