« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
Bổ sung $M$ không thuộc $( ABC )$ Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(1;2;0),~B(5;3;-1),$,$C(2,3;-4).$ Gọi M là điểm thay đổi sao cho các đường thẳng MA,,MB, MC hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Điểm N thay,đổi trên mặt cầu $(S):(x+\frac13)^2+(y+\frac13)^2+(z+\frac23)^2=6.$ Khi đó,giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN là bao nhiêu (làm tròn kết quả,đến hàng phần trăm)?

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Tọa độ các điểm: $A(1; 2; 0)$, $B(5; 3; -1)$, $C(2; 3; -4)$.

Các vectơ: $\overrightarrow{AB} = (4; 1; -1)$, $\overrightarrow{AC} = (1; 1; -4)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$:

$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (-3; 15; 3) = -3(1; -5; -1)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$: $1(x - 1) - 5(y - 2) - 1(z - 0) = 0 \Rightarrow x - 5y - z + 9 = 0$.

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp $H(x; y; z)$ của $ riangle ABC$:

Do $H \in (ABC) \Rightarrow x - 5y - z = -9$ (1)

Mặt khác:

$HA^2 = HB^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = (x-5)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 \Rightarrow 8x + 2y - 2z = 30$ (2)

$HA^2 = HC^2 \Rightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 \Rightarrow 2x + 2y - 8z = 24$ (3)

Giải hệ 3 phương trình (1), (2), (3) ta được:

$\begin{cases} x - 5y - z = -9 \ 8x + 2y - 2z = 30 \ 2x + 2y - 8z = 24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \dfrac{19}{7} \ y = \dfrac{16}{7} \ z = -1 \end{cases} \Rightarrow H\left(\dfrac{19}{7}; \dfrac{16}{7}; -1 ight)$

Đường thẳng $d$ đi qua $H$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; -5; -1)$.

Tâm mặt cầu $(S)$ là $I\left(-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{3}; -\dfrac{2}{3} ight)$, bán kính $R = \sqrt{6} \approx 2,45$.

Vectơ $\overrightarrow{HI} = \left(-\dfrac{65}{21}; -\dfrac{55}{21}; \dfrac{1}{3} ight) = \dfrac{1}{21}(-65; -55; 7)$.

Tích có hướng $[\overrightarrow{HI}, \vec{u}] = \dfrac{1}{21}(90; -58; 380) = \dfrac{2}{21}(45; -29; 190)$.

Độ dài tích có hướng: $\left|[\overrightarrow{HI}, \vec{u}] ight| = \dfrac{2}{21}\sqrt{45^2 + (-29)^2 + 190^2} = \dfrac{2}{21}\sqrt{38966} \approx 18,80$.

Độ dài vectơ chỉ phương $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5,20$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$ là:

$d(I, d) = \dfrac{\left|[\overrightarrow{HI}, \vec{u}] ight|}{|\vec{u}|} = \dfrac{\dfrac{2}{21}\sqrt{38966}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{116898}}{189} \approx 3,62$

Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ là:

$MN_{ ext{min}} = |d(I, d) - R| = 3,62 - 2,45 = 1,17$

Timi · Answer

Để giải bài toán, ta cần tìm ra điểm $ M $ sao cho các đường thẳng $ MA, MB, MC $ hợp với mặt phẳng $ (ABC) $ các góc bằng nhau.

1. **Tính phương trình mặt phẳng $ (ABC) $**:
   - Điểm $ A(1, 2, 0) $, $ B(5, 3, -1) $, $ C(2, 3, -4) $.
   - Vector $ \vec{AB} = B - A = (5-1, 3-2, -1-0) = (4, 1, -1) $.
   - Vector $ \vec{AC} = C - A = (2-1, 3-2, -4-0) = (1, 1, -4) $.
   - Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (ABC) $ bằng tích có hướng: 
     $$
     \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     4 & 1 & -1 \
     1 & 1 & -4
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}(1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(4 \cdot (-4) - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1)
     $$
     $$
     = \vec{i}(-4 + 1) - \vec{j}(-16 + 1) + \vec{k}(4 - 1) = -3\vec{i} + 15\vec{j} + 3\vec{k}.
     $$
   - Vậy vector pháp tuyến $ \vec{n} = (-3, 15, 3) $.
   - Phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ có dạng: 
     $$
     -3(x - 1) + 15(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Rightarrow -3x + 15y + 3z = 27.
     $$

2. **Điều kiện góc bằng nhau**:
   - Để $ MA, MB, MC $ hợp với mặt phẳng $ (ABC) $ các góc bằng nhau, điểm $ M $ phải nằm trên mặt cầu tâm là trọng tâm của tam giác $ ABC $ và có bán kính nhất định.

3. **Tìm trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $**:
   $$
   G\left(\frac{1+5+2}{3}, \frac{2+3+3}{3}, \frac{0-1-4}{3}\right) = G\left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, -\frac{5}{3}\right).
   $$

4. **Tính khoảng cách từ trọng tâm $ G $ đến mặt phẳng $ (ABC) $**:
   - Khoảng cách từ điểm $ G $ đến mặt phẳng được tính bằng công thức:
   $$
   d = \frac{| -3 \cdot \frac{8}{3} + 15 \cdot \frac{8}{3} + 3 \cdot (-\frac{5}{3}) - 27 |}{\sqrt{(-3)^2 + 15^2 + 3^2}} = \frac{| -8 + 40 - 5 - 27 |}{\sqrt{9 + 225 + 9}} = \frac{| 0 |}{15} = 0.
   $$
   Vậy điểm $ G $ nằm trên mặt phẳng $ (ABC) $.

5. **Xác định mặt cầu $ S $**:
   - Mặt cầu có phương trình $ (x+\frac{1}{3})^2 + (y+\frac{1}{3})^2 + (z+\frac{2}{3})^2 = 6 $.
   - Tâm $ T\left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right) $ và bán kính $ R = \sqrt{6} $.

6. **Tính khoảng cách từ $ G $ đến $ T $**:
   - Tính khoảng cách $ GT $:
   $$
   GT = \sqrt{\left(\frac{8}{3} + \frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3} + \frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3} + \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(3\right)^2 + \left(3\right)^2 + \left(-1\right)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}.
   $$
   - Để tìm đoạn $ MN $, ta sẽ tính $ MN $ khi mà $ N $ là điểm trên mặt cầu mà gần nhất với điểm $ G $:
   - Độ dài nhỏ nhất của đoạn $ MN $ sẽ là:
   $$
   MN = GT - R = \sqrt{19} - \sqrt{6}.
   $$

7. **Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm**:
   - Tính giá trị số:
   $$
   \sqrt{19} \approx 4.3589, \quad \sqrt{6} \approx 2.4495.
   $$
   - Vậy, 
   $$
   MN \approx 4.3589 - 2.4495 \approx 1.9094.
   $$
   - Làm tròn đến hàng phần trăm:
   $$
   MN \approx 1.91.
   $$

**Kết luận**: Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $ MN $ là $ \boxed{1.91} $.

hoangnhuphuong223 · Answer

Bước 1: Tìm quỹ tích của điểm $M$

Gọi $\alpha$ là góc giữa các đường thẳng $MA, MB, MC$ với mặt phẳng $(ABC)$. Theo giả thiết, các góc này bằng nhau.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống mặt phẳng $(ABC)$. Khi đó, góc giữa các đường thẳng $MA, MB, MC$ với mặt phẳng $(ABC)$ lần lượt là các góc $\widehat{MAH}, \widehat{MBH}, \widehat{MCH}$.

Theo giả thiết: $\widehat{MAH} = \widehat{MBH} = \widehat{MCH} = \alpha$.

Nếu $\alpha = 90^\circ$, $M$ trùng với $H$, dẫn đến $A \equiv B \equiv C$ (vô lý).

Nếu $\alpha eq 90^\circ$, xét các tam giác vuông $\Delta MAH, \Delta MBH, \Delta MCH$ (vuông tại $H$):

$HA = \frac{MH}{ an \alpha}, \quad HB = \frac{MH}{ an \alpha}, \quad HC = \frac{MH}{ an \alpha}$

Suy ra $HA = HB = HC$.

Do đó, $H$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

Vì $MH \perp (ABC)$ tại tâm ngoại tiếp $H$, tập hợp các điểm $M$ chính là đường thẳng $\Delta$ đi qua $H$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ (đây được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).

Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng $\Delta$ (quỹ tích của M)

Ta có tọa độ các điểm: $A(1;2;0), B(5;3;-1), C(2;3;-4)$.

$\overrightarrow{AB} = (4; 1; -1)$

$\overrightarrow{AC} = (1; 1; -4)$

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là:

$\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \left( \begin{vmatrix} 1 & -1 \ 1 & -4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 4 \ -4 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 & 1 \ 1 & 1 \end{vmatrix} ight) = (-3; 15; 3)$

Chọn một vecto cùng phương gọn hơn: $\vec{u}_{\Delta} = (1; -5; -1)$. Đây chính là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Tìm tọa độ tâm ngoại tiếp $H(x;y;z)$:

Vì $H \in (ABC)$ và $HA = HB = HC \Leftrightarrow HA^2 = HB^2 = HC^2$:

$H \in (ABC) \Rightarrow 1(x-1) - 5(y-2) - 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow x - 5y - z + 9 = 0$

$HA^2 = HB^2 \Leftrightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = (x-5)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 \Leftrightarrow 8x + 2y + 2z - 30 = 0 \Leftrightarrow 4x + y + z - 15 = 0$

$HA^2 = HC^2 \Leftrightarrow (x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 \Leftrightarrow 2x + 2y - 8z - 24 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4z - 12 = 0$

Giải hệ phương trình 3 ẩn gồm (1), (2), (3) ta được tọa độ của $H$:

$\begin{cases} x - 5y - z = -9 \ 4x + y + z = 15 \ x + y - 4z = 12 \end{cases} \Rightarrow H(3; 2; -2)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ (quỹ tích của $M$) là:

$\Delta: \begin{cases} x = 3 + t \ y = 2 - 5t \ z = -2 - t \end{cases}$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn $MN$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; -\frac{2}{3} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{6}$.

Điểm $M$ chạy trên đường thẳng $\Delta$, điểm $N$ chạy trên mặt cầu $(S)$. Khoảng cách $MN$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của tâm $I$ lên đường thẳng $\Delta$, và $N$ là giao điểm của đoạn thẳng $IM$ với mặt cầu $(S)$.

$MN_{\min} = d(I, \Delta) - R$

Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$:

Ta có điểm $H(3; 2; -2) \in \Delta$ và $\vec{u}_{\Delta} = (1; -5; -1)$.

$\overrightarrow{IH} = \left(3 + \frac{1}{3}; 2 + \frac{1}{3}; -2 + \frac{2}{3} ight) = \left(\frac{10}{3}; \frac{7}{3}; -\frac{4}{3} ight)$

Tính tích có hướng $[\overrightarrow{IH}, \vec{u}_{\Delta}]$:

$[\overrightarrow{IH}, \vec{u}_{\Delta}] = \left( \begin{vmatrix} \frac{7}{3} & -\frac{4}{3} \ -5 & -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -\frac{4}{3} & \frac{10}{3} \ -1 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} \frac{10}{3} & \frac{7}{3} \ 1 & -5 \end{vmatrix} ight) = \left(-9; 2; -19 ight)$

Độ dài các vecto:

$\left| [\overrightarrow{IH}, \vec{u}_{\Delta}] ight| = \sqrt{(-9)^2 + 2^2 + (-19)^2} = \sqrt{81 + 4 + 361} = \sqrt{446}$

$|\vec{u}_{\Delta}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-1^2)} = \sqrt{27}$

Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ là:

$d(I, \Delta) = \frac{\left| [\overrightarrow{IH}, \vec{u}_{\Delta}] ight|}{|\vec{u}_{\Delta}|} = \frac{\sqrt{446}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{446}{27}} \approx 4,0643$

Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $MN$:

$MN_{\min} = d(I, \Delta) - R = \sqrt{\frac{446}{27}} - \sqrt{6} \approx 4,0643 - 2,4495 = 1,6148$

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được: 1,61.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ Bổ sung $M$ không thuộc $( ABC )$

Bước 1: Tìm quỹ tích của điểm $M$

Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng $\Delta$ (quỹ tích của M)

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn $MN$