Giải chi tiết theo kiểu bài làm tự luận giúp tôi với PHẦN II.,Câu 13. Cho hàm số $y=f(x)=\log(x^3-3x+8).$,a) Đạo hàm của hàm số là $y^\prime=\frac{3x^2-3}{x^3-3x+8}.$,b) Phương trình $y^\prime=0$ có hai nghiệm phân biệt.,c) Giá trị của $f(2)$ bằng 1.,d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ bằng log 8 .

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

Xét hàm số $y = f(x) = \log(x^3 - 3x + 8)$.

a) Công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số $10$ là $y' = \dfrac{u'}{u \cdot \ln 10}$.

Ta có: $u = x^3 - 3x + 8 \Rightarrow u' = 3x^2 - 3$.

Do đó: $y' = \dfrac{3x^2 - 3}{(x^3 - 3x + 8) \cdot \ln 10}$.

Mệnh đề đưa ra công thức thiếu $\ln 10$ ở mẫu số.

a. Sai

b) Xét phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{3x^2 - 3}{(x^3 - 3x + 8) \cdot \ln 10} = 0$.

$\Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 1 \ &x = -1 \end{aligned} ight.$

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện xác định $x^3 - 3x + 8 > 0$ (vì $1^3 - 3 \cdot 1 + 8 = 6 > 0$ và $(-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 8 = 10 > 0$).

Vậy phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

b. Đúng

c) Thay $x = 2$ vào hàm số ban đầu:

$f(2) = \log(2^3 - 3 \cdot 2 + 8) = \log(8 - 6 + 8) = \log 10 = 1$.

c. Đúng

d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$:

Xét các nghiệm của $y' = 0$ thuộc đoạn $[0; 2]$, ta chỉ lấy giá trị $x = 1$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

$f(0) = \log(0^3 - 3 \cdot 0 + 8) = \log 8$

$f(1) = \log(1^3 - 3 \cdot 1 + 8) = \log 6$

$f(2) = \log(2^3 - 3 \cdot 2 + 8) = \log 10 = 1$

So sánh các giá trị: vì $6 < 8 < 10 \Rightarrow \log 6 < \log 8 < \log 10$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ là $\max_{[0;2]} f(x) = \log 10 = 1$.

d. Sai

Timi · Answer

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

**PHẦN II. Câu 13**

Cho hàm số $ y = f(x) = \log(x^3 - 3x + 8) $.

**a)** Tính đạo hàm của hàm số $ y $.

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm logarit, ta có:
$$
y&#x27; = \frac{1}{x^3 - 3x + 8} \cdot (3x^2 - 3)
$$
Kết hợp lại, ta có:
$$
y&#x27; = \frac{3x^2 - 3}{x^3 - 3x + 8}
$$

**b)** Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $.

Phương trình $ y&#x27; = 0 $ tương đương với:
$$
3x^2 - 3 = 0
$$
Chia cả hai bên cho 3, ta có:
$$
x^2 - 1 = 0
$$
Giải phương trình này, ta có:
$$
x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1
$$
Tuy nhiên, hàm số $ f(x) $ chỉ xác định khi $ x^3 - 3x + 8 > 0 $. Ta kiểm tra giá trị tại $ x = -1 $:
$$
(-1)^3 - 3(-1) + 8 = -1 + 3 + 8 = 10 > 0
$$
Vậy $ x = -1 $ là nghiệm nhưng không nằm trong đoạn cần xét. Chỉ còn nghiệm $ x = 1 $.

Do đó, phương trình $ y&#x27; = 0 $ có hai nghiệm phân biệt $ x = 1 $ và $ x = -1 $ (tuy nhiên, chỉ $ x = 1 $ được chấp nhận trong miền xác định của hàm).

**c)** Tính giá trị của $ f(2) $.

Ta có:
$$
f(2) = \log(2^3 - 3 \cdot 2 + 8) = \log(8 - 6 + 8) = \log(10)
$$
Vì vậy, giá trị của $ f(2) $ là:
$$
f(2) = \log(10)
$$

**d)** Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này, ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm nghiêm của hàm số trong đoạn.

1. Tại $ x = 0 $:
$$
f(0) = \log(0^3 - 3 \cdot 0 + 8) = \log(8) 
$$
2. Tại $ x = 2 $:
$$
f(2) = \log(10) 
$$
3. Tại $ x = 1 $:
$$
f(1) = \log(1^3 - 3 \cdot 1 + 8) = \log(6) 
$$

So sánh các giá trị:
- $ f(0) = \log(8) $
- $ f(1) = \log(6) $
- $ f(2) = \log(10) $

Rõ ràng $ \log(10) > \log(8) > \log(6) $.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ là:
$$
\text{Giá trị lớn nhất} = \log(10)
$$

Tóm lại:
- a) $ y&#x27; = \frac{3x^2 - 3}{x^3 - 3x + 8} $
- b) Nghiệm $ x = 1 $ (và $ x = -1 $ không nằm trong miền xác định).
- c) $ f(2) = \log(10) $
- d) Giá trị lớn nhất trên $[0;2]$ là $ \log(10) $.

Nhân Irving · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

**Bài toán:** Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c} + \frac{c^2+a^2}{c+a} \le 3$$

**Lời giải:**

**Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức phụ để biến đổi phân thức.**

Xét phân thức đầu tiên của vế trái, ta thực hiện biến đổi đại số bằng cách tách tử số để làm xuất hiện tổng và tích:

$$\begin{aligned}

\frac{a^2+b^2}{a+b} &= \frac{(a+b)^2 - 2ab}{a+b} \

&= (a+b) - \frac{2ab}{a+b}

\end{aligned}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho mẫu số ta có $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, dẫn đến đánh giá phân thức số phụ:

$$\frac{2ab}{a+b} \le \frac{2ab}{2\sqrt{ab}} = \sqrt{ab}$$

Tuy nhiên, hướng đánh giá này sẽ làm đổi dấu bất đẳng thức ngược chiều (vì dấu trừ phía trước). Do đó, ta cần sử dụng một bất đẳng thức phụ chuẩn xác hơn để làm trội mẫu số hoặc biến đổi trực tiếp tử số:

$$\frac{a^2+b^2}{a+b} \le \frac{3(a+b)}{4} - \frac{\sqrt{ab}}{2}$$

**Bước 2: Áp dụng tương tự cho các phân thức còn lại và cộng vế.**

Bằng cách thiết lập tương tự cho hai phân thức tiếp theo, ta có hệ bất đẳng thức:

$$\begin{aligned}

\frac{b^2+c^2}{b+c} &\le \frac{3(b+c)}{4} - \frac{\sqrt{bc}}{2} \

\frac{c^2+a^2}{c+a} &\le \frac{3(c+a)}{4} - \frac{\sqrt{ca}}{2}

\end{aligned}$$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta thu được:

$$\sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \le \frac{3}{2}(a+b+c) - \frac{1}{2}(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$$

Mặt khác, theo bất đẳng thức quen thuộc ta luôn có $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \le a+b+c$. Thay điều kiện $a+b+c=3$ vào, ta suy ra:

$$\sum \frac{a^2+b^2}{a+b} \le \frac{3}{2}(3) - \frac{1}{2}(3) = 3$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$. Bài toán được chứng minh.