« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Câu 7. Nếu một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng $(x\in\mathbb{N}^*;1\leq x\leq4500)$ thì doanh thu,nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-0,01x^2+300x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất,bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{30000}x+200$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn,được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu,được lớn hơn 100 triệu đồng?

Question

Huycindy · Accepted Answer

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng là: $C(x) = x \cdot G(x) = x \cdot \left( \dfrac{30000}{x} + 200 \right) = 30000 + 200x$ (nghìn đồng) Lợi nhuận doanh nghiệp thu được trong một tháng là: $P(x) = F(x) - C(x)= -0,01x^2 + 300x - (30000 + 200x) = -0,01x^2 + 100x - 30000$ (nghìn đồng) Đổi $100$ triệu đồng = $100000$ nghìn đồng. Để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng thì: $P(x) > 100000$ $-0,01x^2 + 100x - 30000 > 100000$ $-0,01x^2 + 100x - 30000 - 100000 > 0$ $-0,01x^2 + 100x - 130000 > 0$ $x^2 - 10000x + 13000000 < 0$ $x^2 - 2 \cdot 5000 \cdot x + 25000000 - 25000000 + 13000000 < 0$ $(x^2 - 2 \cdot 5000 \cdot x + 5000^2) - 12000000 < 0$ $(x - 5000)^2 - 12000000 < 0$ $(x - 5000)^2 < 12000000$ $-\sqrt{12000000} < x - 5000 < \sqrt{12000000}$ $-2000\sqrt{3} < x - 5000 < 2000\sqrt{3}$ $5000 - 2000\sqrt{3} < x < 5000 + 2000\sqrt{3}$ $1535,9 < x < 8464,1$ Kết hợp với điều kiện $1 \leq x \leq 4500$ và $x \in \mathbb{N}^*$, ta thu được: $1535,9 < x \leq 4500$ với $x \in \mathbb{N}^*$ $x \in [1536 ; 4500]$ với $x \in \mathbb{N}^*$ Giá trị nhỏ nhất của $x$ thỏa mãn đoạn trên là: $x = 1536$ Vậy trong một tháng doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất $1536$ sản phẩm.

Timi · Answer

Để tìm số sản phẩm $ x $ mà doanh nghiệp cần sản xuất để có lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng (hay 100.000 nghìn đồng), trước tiên chúng ta cần xác định công thức tính lợi nhuận. Lợi nhuận $ P(x) $ được tính bằng doanh thu trừ chi phí sản xuất: $$ P(x) = F(x) - C(x) $$ Trong đó: - $ F(x) = -0,01x^2 + 300x $ là doanh thu. - $ C(x) = G(x) \cdot x = \left( \frac{30000}{x} + 200 \right) \cdot x = 30000 + 200x $ là tổng chi phí sản xuất. Do đó, lợi nhuận sẽ là: $$ P(x) = F(x) - C(x) = \left( -0,01x^2 + 300x \right) - (30000 + 200x) $$ Rút gọn biểu thức lợi nhuận: $$ P(x) = -0,01x^2 + 300x - 30000 - 200x $$ $$ P(x) = -0,01x^2 + 100x - 30000 $$ Chúng ta cần tìm giá trị $ x $ sao cho: $$ P(x) > 100000 $$ Thay lợi nhuận vào phương trình: $$ -0,01x^2 + 100x - 30000 > 100000 $$ Giải bất phương trình: $$ -0,01x^2 + 100x - 30000 - 100000 > 0 $$ $$ -0,01x^2 + 100x - 130000 > 0 $$ Nhân cả phương trình với -100 để dễ giải: $$ x^2 - 10000x + 1300000 < 0 $$ Giải phương trình bậc 2 tương ứng: $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-10000)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1300000 $$ $$ \Delta = 100000000 - 5200000 = 94800000 $$ Tính nghiệm của phương trình bậc 2: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10000 \pm \sqrt{94800000}}{2} $$ Tính $\sqrt{94800000} \approx 3080$, do đó: $$ x_1 = \frac{10000 + 3080}{2} \approx 06540, \quad x_2 = \frac{10000 - 3080}{2} \approx 3460 $$ Ta tìm được các nghiệm: $$ x_1 \approx 06540, \quad x_2 \approx 3460 $$ Vì $ x $ phải thuộc khoảng $ [1, 4500] $, nên chúng ta chỉ quan tâm tới $ x_2 $. Bây giờ, để tìm giá trị của $ x $ thỏa mãn $ P(x) > 100000 $: Ta có khoảng nghiệm từ $ x_2 < x < x_1 $, tức là: $$ 3460 < x < 6540 $$ Vì $ x $ phải nằm trong khoảng $ [1, 4500] $, ta có: Số sản phẩm tối thiểu cần sản xuất để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng là $ x = 3461 $. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất **3461 sản phẩm** để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng.

ft. Hoàng · Answer

Đổi: $100$ triệu đồng $= 100000$ nghìn đồng.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng là:

$C(x) = x \cdot G(x) = x \cdot \left(\dfrac{30000}{x} + 200 ight) = 30000 + 200x$ (nghìn đồng)

Hàm số tính lợi nhuận thu được của doanh nghiệp trong một tháng là:

$L(x) = F(x) - C(x) = -0,01x^2 + 300x - (30000 + 200x) = -0,01x^2 + 100x - 30000$ (nghìn đồng)

Để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng thì:

$L(x) > 100000$

$\Leftrightarrow -0,01x^2 + 100x - 30000 > 100000$

$\Leftrightarrow -0,01x^2 + 100x - 130000 > 0$

Xét phương trình $-0,01x^2 + 100x - 130000 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \approx 8541,02 \ &x \approx 1458,98 \end{aligned} ight.$

Do hệ số $a = -0,01 < 0$ nên bất phương trình có tập nghiệm là:

$1458,98 < x < 8541,02$

Kết hợp với điều kiện $x \in \mathbb{N}^*$ và $1 \le x \le 4500$, ta được:

$1459 \le x \le 4500$

Vậy trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất $1459$ sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng.

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là:

$C(x) = x \cdot G(x) = x \cdot (\frac{30000}{x} + 200) = 200x + 30000$ (nghìn đồng)

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:

$P(x) = F(x) - C(x) = (-0,01x^2 + 300x) - (200x + 30000) = -0,01x^2 + 100x - 30000$ (nghìn đồng)

Để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng (100.000 nghìn đồng), ta có:

$P(x) > 100000$

$\Leftrightarrow -0,01x^2 + 100x - 30000 > 100000$

$\Leftrightarrow -0,01x^2 + 100x - 130000 > 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 10000x + 13000000 < 0$

$\Leftrightarrow 5000 - 2000\sqrt{3} < x < 5000 + 2000\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow 1535,9 < x < 8464,1$

Kết hợp điều kiện $x \in \mathbb{N}^*$ và $1 \le x \le 4500$, ta được:

$1536 \le x \le 4500$

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$