Giải chi tiết theo kiểu bài làm tự luận giúp tôi với Câu 15. Trong một môi trường nuôi cấy thí nghiệm, số lượng vi khuẩn N(t) (con) sau thời gian t (giờ),sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là thoả mãn phương trình đạo hàm,$N^\prime(t)=k.N(t)$ (với k là hằng số sinh trưởng). Biết rằng ban đầu $(t=0)$ có 500 con vi khuẩn và sau 3,giờ thì số lượng vi khuẩn tăng lên thành 4000 con.,a) Hàm số có dạng $N(t)=A.e^{kt}$ (với $A0$ là hằng số).,b) Số lượng vi khuẩn có trong môi trường nuôi cấy sau 6 giờ là 16000 con.,$c)~A=500$ và $k=\ln2.$,d) Sau nửa ngày nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua mốc 2 triệu con.

Question

Giải chi tiết theo kiểu bài làm tự luận giúp tôi với Câu 15. Trong một môi trường nuôi cấy thí nghiệm, số lượng vi khuẩn N(t) (con) sau thời gian t (giờ),sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là thoả mãn phương trình đạo hàm,$N^\prime(t)=k.N(t)$ (với k là hằng số sinh trưởng). Biết rằng ban đầu $(t=0)$ có 500 con vi khuẩn và sau 3,giờ thì số lượng vi khuẩn tăng lên thành 4000 con.,a) Hàm số có dạng $N(t)=A.e^{kt}$ (với $A>0$ là hằng số).,b) Số lượng vi khuẩn có trong môi trường nuôi cấy sau 6 giờ là 16000 con.,$c)~A=500$ và $k=\ln2.$,d) Sau nửa ngày nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua mốc 2 triệu con.

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, số lượng vi khuẩn là $500$ con:

$N(0) = A \cdot e^{k \cdot 0} = 500 \Rightarrow A \cdot 1 = 500 \Rightarrow A = 500$

Khi đó hàm số có dạng: $N(t) = 500 \cdot e^{kt}$

Sau thời gian $t = 3$ giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành $4000$ con:

$N(3) = 500 \cdot e^{k \cdot 3} = 4000 \Rightarrow e^{3k} = \dfrac{4000}{500} = 8 \Rightarrow e^{3k} = 2^3 \Rightarrow e^k = 2 \Rightarrow k = \ln 2$

Suy ra công thức hàm số cụ thể là: $N(t) = 500 \cdot e^{t \cdot \ln 2} = 500 \cdot (e^{\ln 2})^t = 500 \cdot 2^t$

Xét tính đúng, sai của từng phát biểu:

a) Hàm số có dạng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ (với $A > 0$ là hằng số).

Đây là phát biểu Đúng.

b) Số lượng vi khuẩn có trong môi trường nuôi cấy sau $6$ giờ là $16000$ con.

Thay $t = 6$ vào công thức hàm số ta được:

$N(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$ con.

Do đó phát biểu này Sai.

c) $A = 500$ và $k = \ln 2$.

Theo kết quả tính toán ở trên, $A = 500$ và $k = \ln 2$ là chính xác.

Đây là phát biểu Đúng.

d) Sau nửa ngày nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua mốc $2$ triệu con.

Nửa ngày tương ứng với $t = 12$ giờ. Thay $t = 12$ vào công thức hàm số ta được:

$N(12) = 500 \cdot 2^{12} = 500 \cdot 4096 = 2048000$ con.

Vì $2048000 > 2000000$ nên sau nửa ngày số lượng vi khuẩn đã vượt qua mốc $2$ triệu con.

Đây là phát biểu Đúng.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt làm theo các yêu cầu trong câu hỏi.

### a) Hàm số có dạng $N(t) = A e^{kt}$

Ta đã biết rằng số lượng vi khuẩn $N(t)$ thay đổi theo thời gian t và thoả mãn phương trình đạo hàm: 
$$N&#x27;(t) = kN(t)$$
Phương trình này có nghiệm dạng:
$$N(t) = A e^{kt}$$
Trong đó, $A$ là hằng số xác định từ điều kiện ban đầu.

### b) Tìm $A$ và $k$

Ta biết rằng tại $t = 0$, số lượng vi khuẩn $N(0) = 500$.

Thay $t = 0$ vào hàm số:
$$N(0) = A e^{k \cdot 0} = A \cdot 1 = A$$
Do đó, ta có:
$$A = 500$$

Tiếp theo, ta có thông tin rằng sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 4000 con:
$$N(3) = 500 e^{3k} = 4000$$

Chia cả hai vế cho 500:
$$e^{3k} = \frac{4000}{500} = 8$$

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế:
$$3k = \ln(8)$$
$$k = \frac{\ln(8)}{3} = \frac{\ln(2^3)}{3} = \frac{3 \ln(2)}{3} = \ln(2)$$

Vậy ta có:
- $A = 500$
- $k = \ln(2)$

### c) Số lượng vi khuẩn sau 6 giờ

Ta đã có hàm số:
$$N(t) = 500 e^{\ln(2)t} = 500 \cdot 2^t$$

Để tìm số lượng vi khuẩn sau 6 giờ ($t = 6$):
$$N(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32000$$

### d) Kiểm tra sau nửa ngày

Nửa ngày tương đương với 12 giờ. Ta tính số lượng vi khuẩn sau 12 giờ ($t = 12$):
$$N(12) = 500 \cdot 2^{12} = 500 \cdot 4096 = 2048000$$

Số lượng vi khuẩn vượt qua 2 triệu con.

### Kết luận:

- Hàm số vi khuẩn là $N(t) = 500 e^{\ln(2)t}$.
- Sau 6 giờ, số lượng vi khuẩn là 32000 con.
- $A = 500$ và $k = \ln(2)$.
- Sau nửa ngày nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt qua 2 triệu con (2048000 con).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán!

NguyenVu · Answer