Trong không gian \( Oxyz \), cho điểm \( M(1;2;3) \) và mặt phẳng \( (P): x + 3y - 4z + 9 = 0 \). Mặt phẳng đi qua \( M \) và song song với \( (P) \) có phương trình là: A. \( x + 3y + 4z + 5 = 0 \) B....

Progamingsang

**Câu hỏi:** Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1; 2; 3)$ và mặt phẳng $(P): x + 3y - 4z + 9 = 0$. Mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(P)$ có phương trình là:

A. $x + 3y + 4z + 5 = 0$

B. $x + 3y - 4z - 5 = 0$

C. $x + 3y - 4z + 6 = 0$

D. $x + 3y - 4z + 5 = 0$

**Lời giải chi tiết:**

* **Bước 1: Xác định véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng mới**

- Mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $x + 3y - 4z + 9 = 0$, suy ra một véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là:

$\vec{n}_{(P)} = (1; 3; -4)$

- Vì mặt phẳng cần tìm (gọi là mặt phẳng $(Q)$) song song với mặt phẳng $(P)$, nên mặt phẳng $(Q)$ sẽ nhận luôn véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ làm véc-tơ pháp tuyến cho mình. Do đó:

$\vec{n}_{(Q)} = \vec{n}_{(P)} = (1; 3; -4)$

* **Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$**

- Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1; 2; 3)$ và có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}_{(Q)} = (1; 3; -4)$ sẽ có phương trình dạng tổng quát là:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

- Thay các tọa độ của điểm $M$ và hệ số của véc-tơ vào, ta được:

$1(x - 1) + 3(y - 2) - 4(z - 3) = 0$

- Thực hiện nhân phá ngoặc và rút gọn biểu thức:

$x - 1 + 3y - 6 - 4z + 12 = 0$

$x + 3y - 4z + 5 = 0$

* **Cách giải nhanh trắc nghiệm:**

- Vì mặt phẳng mới song song với $(P)$ nên phần biến của nó phải giống hệt $(P)$, tức là có dạng: $x + 3y - 4z + D = 0$ (với $D \neq 9$). Ta loại ngay đáp án A.

- Thay tọa độ $M(1; 2; 3)$ vào phần biến vừa tìm: $1 + 3(2) - 4(3) = 1 + 6 - 12 = -5$.

- Để phương trình bằng $0$ thì ta phải cộng thêm $5$ (tức $D = 5$). Vậy phương trình là $x + 3y - 4z + 5 = 0$.

* **Chọn đáp án:** **D. $x + 3y - 4z + 5 = 0$**