5, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{17}{5} \ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} \end{cases}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $x 
eq 2; y 
eq -1$
$\begin{cases} \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{17}{5} \ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{17}{5} \ \dfrac{4}{x - 2} - \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{18}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{7}{x - 2} = 7 \ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x - 2} = 1 \ 2 \cdot 1 - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x - 2 = 1 \ \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{1}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 3 \ y + 1 = 5 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 3 \ y = 4 \end{cases}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (3; 4)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases} 
\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{17}{5} \ 
\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} 
\end{cases}
$$

Đầu tiên, đặt $ a = \dfrac{1}{x - 2} $ và $ b = \dfrac{1}{y + 1} $. Hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases} 
3a + 2b = \dfrac{17}{5} \ 
2a - b = \dfrac{9}{5} 
\end{cases}
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

1. Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn $ b $ theo $ a $:

$$
b = 2a - \dfrac{9}{5}
$$

2. Thay $ b $ vào phương trình thứ nhất:

$$
3a + 2(2a - \dfrac{9}{5}) = \dfrac{17}{5}
$$

3. Phát triển biểu thức:

$$
3a + 4a - \dfrac{18}{5} = \dfrac{17}{5}
$$

4. Gộp các hạng tử lại:

$$
7a - \dfrac{18}{5} = \dfrac{17}{5}
$$

5. Cộng $ \dfrac{18}{5} $ cho cả hai vế:

$$
7a = \dfrac{17}{5} + \dfrac{18}{5}
$$
$$
7a = \dfrac{35}{5}
$$
$$
7a = 7
$$

6. Chia cả hai vế cho 7:

$$
a = 1
$$

7. Thay giá trị của $ a $ vào phương trình biểu diễn $ b $:

$$
b = 2(1) - \dfrac{9}{5} = 2 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{9}{5} = \dfrac{1}{5}
$$

Bây giờ chúng ta có:

$$
a = 1 \quad \text{và} \quad b = \dfrac{1}{5}
$$

8. Giải hệ trở lại để tìm $ x $ và $ y $:

$$
\dfrac{1}{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
$$

$$
\dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow y + 1 = 5 \Rightarrow y = 4
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\boxed{(3, 4)}
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\ \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{9}{5}\end{cases}$

Điều kiện: $x \neq 2$ và $y \neq -1$.

________________________________________

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x-2}$ và $v = \dfrac{1}{y+1}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}3u+2v=\dfrac{17}{5}\quad (1)\ 2u-v=\dfrac{9}{5}\quad (2)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ phương trình theo $u$ và $v$

Từ phương trình $(2)$, ta có: $v = 2u - \dfrac{9}{5}$.

Thay vào phương trình $(1)$:

$3u+2\left(2u-\dfrac{9}{5}\right)=\dfrac{17}{5}$

$3u+4u-\dfrac{18}{5}=\dfrac{17}{5}$

$7u=\dfrac{17}{5}+\dfrac{18}{5}=\dfrac{35}{5}=7$

$\Rightarrow u=1$

Thay $u = 1$ vào phương trình $v = 2u - \dfrac{9}{5}$:

$v=2(1)-\dfrac{9}{5}=\dfrac{10}{5}-\dfrac{9}{5}=\dfrac{1}{5}$

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

• Với $u = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow \mathbf{x = 3}$ (thỏa mãn)

• Với $v = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{y+1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow y + 1 = 5 \Rightarrow \mathbf{y = 4}$ (thỏa mãn)

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (3; 4)$.

Anh Trí · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Điều kiện: $x eq 2; y eq -1$

Đặt $u = \frac{1}{x - 2}; v = \frac{1}{y + 1}$

$\begin{cases} 3u + 2v = \frac{17}{5} \ 2u - v = \frac{9}{5} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 3u + 2v = \frac{17}{5} \ 4u - 2v = \frac{18}{5} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} 7u = 7 \ 2u - v = \frac{9}{5} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} u = 1 \ 2.1 - v = \frac{9}{5} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} u = 1 \ v = \frac{1}{5} \end{cases}$

Do đó:

$\begin{cases} \frac{1}{x - 2} = 1 \ \frac{1}{y + 1} = \frac{1}{5} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} x - 2 = 1 \ y + 1 = 5 \end{cases}$

$\iff \begin{cases} x = 3 \ y = 4 \end{cases}$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(3; 4)$.

5, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{y + 1} = \dfrac{17}{5} \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{9}{5} \end{cases}$