8, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{5}{6} \ \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{y - 1} = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Đề bài: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{5}{6}\ \dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{y-1}=-\dfrac{5}{6}\end{cases}$

________________________________________

1. Điều kiện xác định

Để các phân thức có nghĩa:

• $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

• $y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

________________________________________

2. Cách giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x+1}$ và $v = \dfrac{1}{y-1}$ ($u, v \neq 0$). Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{5}{6}\quad (1)\ 2u-3v=-\dfrac{5}{6}\quad (2)\end{cases}$

Bước 2: Giải hệ phương trình ẩn $u, v$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3:

$\begin{cases}3u+3v=\dfrac{15}{6}\ 2u-3v=-\dfrac{5}{6}\end{cases}$

Cộng hai phương trình lại với nhau:

$(3u+2u)+(3v-3v)=\dfrac{15}{6}-\dfrac{5}{6}$

$5u=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow u=\dfrac{1}{3}$

Thay $u = \dfrac{1}{3}$ vào phương trình (1):

$\dfrac{1}{3}+v=\dfrac{5}{6}\Rightarrow v=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

Bước 3: Tìm $x$ và $y$

• Với $u = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$ (thỏa mãn điều kiện)

• Với $v = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{y-1} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y - 1 = 2 \Rightarrow \mathbf{y = 3}$ (thỏa mãn điều kiện)

________________________________________

3. Kết luận

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 3)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình đã cho, ta đặt $ a = \frac{1}{x + 1} $ và $ b = \frac{1}{y - 1} $. Hệ phương trình sẽ trở thành:

$$
\begin{cases}
a + b = \frac{5}{6} \quad (1) \
2a - 3b = -\frac{5}{6} \quad (2)
\end{cases}
$$

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn $ b $ theo $ a $:

$$
b = \frac{5}{6} - a
$$

Thay giá trị của $ b $ vào phương trình (2):

$$
2a - 3\left(\frac{5}{6} - a\right) = -\frac{5}{6}
$$

R simplifying phương trình:

$$
2a - \frac{15}{6} + 3a = -\frac{5}{6}
$$
$$
5a - \frac{15}{6} = -\frac{5}{6}
$$
$$
5a = -\frac{5}{6} + \frac{15}{6}
$$
$$
5a = \frac{10}{6}
$$
$$
5a = \frac{5}{3}
$$
$$
a = \frac{1}{3}
$$

Bây giờ, ta thay giá trị của $ a $ trở lại để tìm $ b $:

$$
b = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}
$$

Chuyển đổi $ \frac{1}{3} $ sang mẫu số chung là 6:

$$
b = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$$

Vậy ta có:

$$
a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{1}{2}
$$

Giờ ta quay trở lại với $ x $ và $ y $:

$$
\frac{1}{x + 1} = a = \frac{1}{3} \implies x + 1 = 3 \implies x = 2
$$

$$
\frac{1}{y - 1} = b = \frac{1}{2} \implies y - 1 = 2 \implies y = 3
$$

Cuối cùng, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\boxed{(2, 3)}
$$

Huycindy · Answer

Cách $1:$
Điều kiện xác định: $x 
eq -1; y 
eq 1$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{5}{6} \ \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{y - 1} = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{3}{y - 1} = \dfrac{5}{2} \ \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{y - 1} = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{5}{x + 1} = \dfrac{5}{3} \ \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{3} \ \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} x + 1 = 3 \ \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ y - 1 = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ y = 3 \end{cases}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 3)$.
Cách $2:$
Điều kiện xác định: $x 
eq -1; y 
eq 1$
Đặt $u = \dfrac{1}{x + 1}$ và $v = \dfrac{1}{y - 1}$
$\begin{cases} u + v = \dfrac{5}{6} \ 2u - 3v = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} 3u + 3v = \dfrac{5}{2} \ 2u - 3v = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} 5u = \dfrac{5}{3} \ u + v = \dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} u = \dfrac{1}{3} \ \dfrac{1}{3} + v = \dfrac{5}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} u = \dfrac{1}{3} \ v = \dfrac{1}{2} \end{cases}$
Suy ra: $\begin{cases} \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{3} \ \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x + 1 = 3 \ y - 1 = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ y = 3 \end{cases}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 3)$.

Anh Trí · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

ĐKXĐ: $x eq -1; y eq 1$

$\begin{cases} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-1} = \frac{5}{6} \ \frac{2}{x+1} - \frac{3}{y-1} = \frac{5}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{3}{x+1} + \frac{3}{y-1} = \frac{15}{6} \ \frac{2}{x+1} - \frac{3}{y-1} = \frac{5}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{5}{x+1} = \frac{20}{6} \ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-1} = \frac{5}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{5}{x+1} = \frac{10}{3} \ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y-1} = \frac{5}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x + 1 = \frac{3}{2} \ \frac{2}{3} + \frac{1}{y-1} = \frac{5}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{2} \ \frac{1}{y-1} = \frac{1}{6} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{2} \ y - 1 = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{2} \ y = 7 \end{cases}$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (\frac{1}{2}; 7)$.

8, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y - 1} = \dfrac{5}{6} \\ \dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{y - 1} = -\dfrac{5}{6} \end{cases}$