10, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + my = 1 \ mx + y = 1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số)Tìm các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $x 0$ và $y 0$.

Question

10, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + my = 1 \ mx + y = 1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số)Tìm các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $x > 0$ và $y > 0$.

vothihongthi · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm các giá trị của tham số $ m $ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất với $ x > 0 $ và $ y > 0 $: $$ \begin{cases} x + my = 1 \ mx + y = 1 \end{cases} $$ Ta có thể viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận: $$ \begin{pmatrix} 1 & m \ m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} $$ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0. Tính định thức: $$ D = 1 \cdot 1 - m \cdot m = 1 - m^2 $$ Để $ D \neq 0 $, ta có điều kiện: $$ 1 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 1 \implies m \neq 1 \quad \text{và} \quad m \neq -1 $$ Bây giờ ta cần kiểm tra điều kiện để $ x > 0 $ và $ y > 0 $. Từ phương trình đầu tiên, ta có: $$ x = 1 - my \quad (1) $$ Từ phương trình thứ hai, ta có: $$ y = 1 - mx \quad (2) $$ Thay $ x $ từ (1) vào (2): $$ y = 1 - m(1 - my) \implies y = 1 - m + m^2y $$ Sắp xếp lại: $$ y - m^2y = 1 - m \implies y(1 - m^2) = 1 - m $$ Từ đây ta có: $$ y = \frac{1 - m}{1 - m^2} \quad (3) $$ Tiếp theo, thay giá trị $ y $ vào (1): $$ x = 1 - m \cdot \frac{1 - m}{1 - m^2} = 1 - \frac{m(1 - m)}{1 - m^2} $$ Sắp xếp lại: $$ x = \frac{(1 - m^2) - m(1 - m)}{1 - m^2} = \frac{1 - m^2 - m + m^2}{1 - m^2} = \frac{1 - m}{1 - m^2} \quad (4) $$ Từ (3) và (4), ta có: $$ x = y $$ Vậy $ x > 0 $ và $ y > 0 $ khi và chỉ khi $ 1 - m > 0 $ và $ 1 - m^2 > 0 $. Giải hai bất phương trình này: 1. $ 1 - m > 0 \implies m < 1 $ 2. $ 1 - m^2 > 0 \implies m^2 < 1 \implies -1 < m < 1 $ Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $$ -1 < m < 1 \quad \text{và} \quad m \neq 1, m \neq -1 $$ Do đó, giá trị của $ m $ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ (x, y) $ thỏa mãn $ x > 0 $ và $ y > 0 $ là: $$ \boxed{(-1, 1)} $$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

1. Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình:

$\begin{cases}x+my=1\quad (1)\ mx+y=1\quad (2)\end{cases}$

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức $D$ của hệ phải khác 0:

$D=\left|\begin{matrix}1&m\ m&1\end{matrix}\right|=1-m^{2}\ne 0\iff m\ne \pm 1$

________________________________________

2. Giải hệ phương trình theo $m$

Từ $(1) \implies x = 1 - my$. Thay vào $(2)$:

$m(1-my)+y=1$

$m-m^{2}y+y=1$

$y(1-m^{2})=1-m$

$y(1-m)(1+m)=1-m$

Vì $m \neq 1$, ta chia cả hai vế cho $(1 - m)$:

$y(1+m)=1\implies y=\frac{1}{m+1}$

Thay $y$ vào phương trình của $x$:

$x=1-m\left(\frac{1}{m+1}\right)=\frac{m+1-m}{m+1}=\frac{1}{m+1}$

Vậy nghiệm duy nhất của hệ là $(x; y) = \left( \frac{1}{m + 1}; \frac{1}{m + 1} \right)$.

________________________________________

3. Tìm $m$ để $x > 0$ và $y > 0$

Theo yêu cầu bài toán:

$\begin{cases}x>0\ y>0\end{cases}\iff \begin{cases}\frac{1}{m+1}>0\ \frac{1}{m+1}>0\end{cases}\iff m+1>0\iff m>-1$

Kết hợp với điều kiện để có nghiệm duy nhất ($m \neq \pm 1$), ta có:

$m>-1\text{ và }m\ne 1$

Kết luận: Các giá trị $m$ cần tìm là $m > -1$ và $m \neq 1$.

Huycindy · Answer

$\begin{cases} x + my = 1 \ mx + y = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 1 - my \ m(1 - my) + y = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 1 - my \ m - m^2y + y = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 1 - my \ (1 - m^2)y = 1 - m \end{cases}$
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
$1 - m^2 
eq 0$
$m 
eq \pm 1$
Khi đó:
$\begin{cases} y = \dfrac{1 - m}{1 - m^2} \ x = 1 - m \cdot \dfrac{1 - m}{1 - m^2} \end{cases}$
$\begin{cases} y = \dfrac{1 - m}{(1 - m)(1 + m)} \ x = 1 - \dfrac{m}{1 + m} \end{cases}$
$\begin{cases} x = \dfrac{1}{1 + m} \ y = \dfrac{1}{1 + m} \end{cases}$
Để $x > 0$ và $y > 0$:
$\dfrac{1}{1 + m} > 0$
$1 + m > 0$
$m > -1$
Kết hợp điều kiện $m 
eq \pm 1$: $\begin{cases} m > -1 \ m 
eq 1 \end{cases}$
Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m > -1$ và $m 
eq 1$.

10, Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x + my = 1 \\ mx + y = 1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số)Tìm các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thỏa mãn $x > 0$ và $y > 0$.