9, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4}\quad (1)\ \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{5}{16}\quad (2)\end{cases}$

Điều kiện: $x, y \neq 0$.

________________________________________

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{3}{4}\ u^{2}+v^{2}=\dfrac{5}{16}\end{cases}$

Bước 2: Biến đổi để tìm $u \cdot v$

Ta có hằng đẳng thức: $(u + v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv$.

Thay các giá trị đã biết vào:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}+2uv$

$\frac{9}{16}=\frac{5}{16}+2uv\implies 2uv=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\implies uv=\frac{1}{8}$

Bước 3: Giải hệ tìm $u$ và $v$

Bây giờ ta có hệ mới:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{3}{4}\ uv=\dfrac{1}{8}\end{cases}$

$u$ và $v$ là nghiệm của phương trình bậc hai: $t^2 - \dfrac{3}{4}t + \dfrac{1}{8} = 0$.

Nhân cả hai vế với 8: $8t^2 - 6t + 1 = 0$.

Giải phương trình này:

$\Delta' = (-3)^2 - 8 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_{1}=\frac{3+1}{8}=\frac{1}{2};\quad t_{2}=\frac{3-1}{8}=\frac{1}{4}$

Vậy $(u, v)$ có hai trường hợp: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ hoặc $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Bước 4: Tìm $x$ và $y$

• Trường hợp 1: $u = \dfrac{1}{2}$ và $v = \dfrac{1}{4}$

$\implies \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \implies x = 2$

$\implies \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \implies y = 4$

• Trường hợp 2: $u = \dfrac{1}{4}$ và $v = \dfrac{1}{2}$

$\implies x = 4, y = 2$

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm $(x, y)$ là $(2, 4)$ và $(4, 2)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases}
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \quad (1) \
\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \quad (2)
\end{cases}
$$

Ta đặt $ u = \dfrac{1}{x} $ và $ v = \dfrac{1}{y} $. Khi đó, hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases}
u + v = \dfrac{3}{4} \quad (1&#x27;) \
u^2 + v^2 = \dfrac{5}{16} \quad (2&#x27;)
\end{cases}
$$

Từ phương trình (1&#x27;), ta có:

$$
v = \dfrac{3}{4} - u
$$

Thay vào phương trình (2&#x27;):

$$
u^2 + \left( \dfrac{3}{4} - u \right)^2 = \dfrac{5}{16}
$$

Giải phương trình này:

$$
u^2 + \left( \dfrac{3}{4} - u \right)^2 = u^2 + \left( \dfrac{9}{16} - \dfrac{3}{2}u + u^2 \right) = \dfrac{5}{16}
$$

$$
2u^2 - \dfrac{3}{2}u + \dfrac{9}{16} = \dfrac{5}{16}
$$

Rút gọn:

$$
2u^2 - \dfrac{3}{2}u + \dfrac{9}{16} - \dfrac{5}{16} = 0
$$

$$
2u^2 - \dfrac{3}{2}u + \dfrac{4}{16} = 0
$$

$$
2u^2 - \dfrac{3}{2}u + \dfrac{1}{4} = 0
$$

Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ mẫu:

$$
8u^2 - 6u + 1 = 0
$$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$$
u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}
$$

$$
= \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{16} = \dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{16} = \dfrac{6 \pm 2}{16}
$$

Hai nghiệm sẽ là:

$$
u_1 = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}, \quad u_2 = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}
$$

Từ đó, tìm $ v $:

Với $ u_1 = \dfrac{1}{2} $:

$$
v_1 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}
$$

Với $ u_2 = \dfrac{1}{4} $:

$$
v_2 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
$$

Vậy ta có hai cặp $ (u, v) $:

1. $ (u_1, v_1) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4} \right) $
2. $ (u_2, v_2) = \left( \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2} \right) $

Chuyển đổi về $ x $ và $ y $:

1. Từ $ (u_1, v_1) $:
   - $ u_1 = \dfrac{1}{x} \Rightarrow x = 2 $
   - $ v_1 = \dfrac{1}{y} \Rightarrow y = 4 $
   - Cặp nghiệm 1: $ (x, y) = (2, 4) $

2. Từ $ (u_2, v_2) $:
   - $ u_2 = \dfrac{1}{x} \Rightarrow x = 4 $
   - $ v_2 = \dfrac{1}{y} \Rightarrow y = 2 $
   - Cặp nghiệm 2: $ (x, y) = (4, 2) $

Do đó, hệ phương trình có hai nghiệm:

$$
(x, y) = (2, 4) \quad \text{hoặc} \quad (x, y) = (4, 2)
$$

Huycindy · Answer

Điều kiện xác định: $x 
eq 0; y 
eq 0$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}ight)^2 - \dfrac{2}{xy} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \left(\dfrac{3}{4}ight)^2 - \dfrac{2}{xy} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{9}{16} - \dfrac{2}{xy} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{2}{xy} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{8} \end{cases}$
Do đó $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{y}$ là hai nghiệm của phương trình:
$t^2 - \dfrac{3}{4}t + \dfrac{1}{8} = 0$
$8t^2 - 6t + 1 = 0$
$(2t - 1)(4t - 1) = 0$
$\left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2} \ t = \dfrac{1}{4} \end{array} ight.$
$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \end{cases} \ \begin{cases} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} \end{cases} \end{array} ight.$
$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 2 \ y = 4 \end{cases} \ \begin{cases} x = 4 \ y = 2 \end{cases} \end{array} ight.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) \in \{(2; 4); (4; 2)\}$.

9, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$