6, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 + x} + \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{2} \ \dfrac{3}{x^2 + x} - \dfrac{2}{y^2 + y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $x 
eq 0; x 
eq -1; y 
eq 0; y 
eq -1$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 + x} + \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{2} \ \dfrac{3}{x^2 + x} - \dfrac{2}{y^2 + y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{2}{x^2 + x} + \dfrac{2}{y^2 + y} = 1 \ \dfrac{3}{x^2 + x} - \dfrac{2}{y^2 + y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{5}{x^2 + x} = \dfrac{5}{4} \ \dfrac{1}{x^2 + x} + \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 + x} = \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 + x} = \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + x = 4 \ y^2 + y = 4 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 + x - 4 = 0 \ y^2 + y - 4 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \ x = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2} \end{array} ight. \ \left[ \begin{array}{l} y = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \ y = \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2} \end{array} ight. \end{cases}$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) \in \left\{ \left(\dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}ight); \left(\dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}ight); \left(\dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}ight); \left(\dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}ight) ight\}$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình này, ta đặt:

$$
a = \frac{1}{x^2 + x} \quad \text{và} \quad b = \frac{1}{y^2 + y}
$$

Hệ phương trình trở thành:

$$
\begin{cases}
a + b = \frac{1}{2} \
3a - 2b = \frac{1}{4}
\end{cases}
$$

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

$$
b = \frac{1}{2} - a
$$

Thay vào phương trình thứ hai:

$$
3a - 2\left(\frac{1}{2} - a\right) = \frac{1}{4}
$$

Giải phương trình trên:

$$
3a - 1 + 2a = \frac{1}{4}
$$
$$
5a - 1 = \frac{1}{4}
$$
$$
5a = \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}
$$
$$
a = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
$$

Thay giá trị của $ a $ vào phương trình $ b = \frac{1}{2} - a $:

$$
b = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
$$

Ta có $ a = \frac{1}{4} $ và $ b = \frac{1}{4} $.

Bây giờ ta sẽ tìm giá trị của $ x $ và $ y $:

Từ $ a = \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{4} $, ta có:

$$
x^2 + x = 4
$$
$$
x^2 + x - 4 = 0
$$

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
$$

Vậy $ x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} $ hoặc $ x = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} $.

Tương tự, từ $ b = \frac{1}{y^2 + y} = \frac{1}{4} $, ta cũng có:

$$
y^2 + y = 4
$$
$$
y^2 + y - 4 = 0
$$

Nghiệm của phương trình này cũng sẽ tương tự:

$$
y = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}
$$

Tóm lại, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
\left( x, y \right) = \left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right) \quad \text{hoặc} \quad \left( \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \right)
$$

Do đó, giá trị cuối cùng của $ x $ và $ y $ là:

$$
\left( \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \right) \quad \text{và} \quad \left( \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \right)
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Hệ phương trình:

$\begin{cases}\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{y^{2}+y}=\frac{1}{2}\ \frac{3}{x^{2}+x}-\frac{2}{y^{2}+y}=\frac{1}{4}\end{cases}$

________________________________________

1. Đặt ẩn phụ

Điều kiện: $x^2 + x \neq 0$ và $y^2 + y \neq 0$ (tức là $x, y \notin \{0, -1\}$).

Đặt:

• $u = \frac{1}{x^2 + x}$

• $v = \frac{1}{y^2 + y}$

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=\frac{1}{2}&(1)\ 3u-2v=\frac{1}{4}&(2)\end{cases}$

2. Giải hệ phương trình theo $u$ và $v$

Nhân phương trình (1) với 2:

$2u+2v=1$

Cộng với phương trình (2):

$(2u+2v)+(3u-2v)=1+\frac{1}{4}$

$5u=\frac{5}{4}\implies \mathbf{u=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

Thay $u = \frac{1}{4}$ vào (1):

$\frac{1}{4}+v=\frac{1}{2}\implies \mathbf{v=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

3. Tìm $x$ và $y$

• Tìm $x$:

$\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{4}\implies x^{2}+x=4\implies x^{2}+x-4=0$

Sử dụng công thức nghiệm: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \mathbf{\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}}$

• Tìm $y$:

$\frac{1}{y^{2}+y}=\frac{1}{4}\implies y^{2}+y=4\implies y^{2}+y-4=0$

Tương tự: $y = \mathbf{\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}}$

Kết luận

Các cặp nghiệm $(x, y)$ của hệ phương trình là:

$\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right),\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right),\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right),\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\right)$

Anh Trí · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

ĐKXĐ: $x eq 0; x eq -1; y eq 0; y eq -1$

$\begin{cases} \frac{1}{x^2 + x} + \frac{1}{y^2 + y} = \frac{1}{2} \ \frac{3}{x^2 + x} - \frac{2}{y^2 + y} = \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{2}{x^2 + x} + \frac{2}{y^2 + y} = 1 \ \frac{3}{x^2 + x} - \frac{2}{y^2 + y} = \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{5}{x^2 + x} = \frac{5}{4} \ \frac{1}{x^2 + x} + \frac{1}{y^2 + y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{4} \ \frac{1}{4} + \frac{1}{y^2 + y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{4} \ \frac{1}{y^2 + y} = \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x = 4 \ y^2 + y = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 4 = 0 \ y^2 + y - 4 = 0 \end{cases}$

Xét phương trình $x^2 + x - 4 = 0$ có $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 17 > 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn)

Xét phương trình $y^2 + y - 4 = 0$ có $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 17 > 0$

$\Leftrightarrow y = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm $(x; y)$ là:

$\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} ight)$, $\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} ight)$, $\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} ight)$, $\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} ight)$

6, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x^2 + x} + \dfrac{1}{y^2 + y} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{x^2 + x} - \dfrac{2}{y^2 + y} = \dfrac{1}{4} \end{cases}$