7, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Đề bài:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{4}\quad (1)\ \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{5}{16}\quad (2)\end{cases}$

________________________________________

Giải:

Điều kiện: $x \neq 0, y \neq 0$.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ và $v = \dfrac{1}{y}$. Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{3}{4}\ u^{2}+v^{2}=\dfrac{5}{16}\end{cases}$

Bước 2: Biến đổi hệ phương trình

Ta có công thức: $u^2 + v^2 = (u + v)^2 - 2uv$. Thay các giá trị vào:

$\dfrac{5}{16}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}-2uv$

$\dfrac{5}{16}=\dfrac{9}{16}-2uv$

$2uv=\dfrac{9}{16}-\dfrac{5}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$

$uv=\dfrac{1}{8}$

Bước 3: Tìm $u$ và $v$

Bây giờ ta có hệ:

$\begin{cases}u+v=\dfrac{3}{4}\ uv=\dfrac{1}{8}\end{cases}$

Theo định lý Vi-ét đảo, $u$ và $v$ là nghiệm của phương trình bậc hai:

$t^{2}-\dfrac{3}{4}t+\dfrac{1}{8}=0$

Nhân cả hai vế với 8 để làm gọn:

$8t^{2}-6t+1=0$

Giải phương trình bậc hai này:

$\Delta ^{\prime }=(-3)^{2}-8\cdot 1=9-8=1$

$t_{1}=\dfrac{3+1}{8}=\dfrac{1}{2},\quad t_{2}=\dfrac{3-1}{8}=\dfrac{1}{4}$

Vậy $(u, v)$ có thể là $(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4})$ hoặc $(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2})$.

Bước 4: Tìm $x$ và $y$

• Trường hợp 1: $u = \dfrac{1}{2}, v = \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2$

$\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\Rightarrow y=4$

• Trường hợp 2: $u = \dfrac{1}{4}, v = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=4$

$\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\Rightarrow y=2$

Kết luận:

Hệ phương trình có hai nghiệm $(x; y)$ là $(2; 4)$ và $(4; 2)$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình sau:

$$
\begin{cases}
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \quad (1) \
\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \quad (2)
\end{cases}
$$

Chúng ta sẽ đặt $ a = \dfrac{1}{x} $ và $ b = \dfrac{1}{y} $. Như vậy, phương trình (1) trở thành:

$$
a + b = \dfrac{3}{4} \quad (1&#x27;)
$$

Phương trình (2) có thể viết lại như sau:

$$
a^2 + b^2 = \dfrac{5}{16} \quad (2&#x27;)
$$

Chúng ta có công thức liên quan giữa $ a + b $ và $ a^2 + b^2 $:

$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
$$

Thay (1&#x27;) vào (2&#x27;):

$$
a^2 + b^2 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 - 2ab
$$

Tính $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$:

$$
\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}
$$

Vậy:

$$
a^2 + b^2 = \dfrac{9}{16} - 2ab
$$

Thay vào (2&#x27;):

$$
\dfrac{9}{16} - 2ab = \dfrac{5}{16}
$$

Giải phương trình này:

$$
\dfrac{9}{16} - \dfrac{5}{16} = 2ab
$$

$$
\dfrac{4}{16} = 2ab \Rightarrow ab = \dfrac{1}{8}
$$

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình mới:

$$
\begin{cases}
a + b = \dfrac{3}{4} \quad (1&#x27;) \
ab = \dfrac{1}{8} \quad (3)
\end{cases}
$$

Sử dụng phương trình (1&#x27;) và (3), ta có thể viết phương trình bậc hai với $ a $ và $ b $:

$$
t^2 - (a+b)t + ab = 0
$$

Thay giá trị vào:

$$
t^2 - \dfrac{3}{4}t + \dfrac{1}{8} = 0
$$

Để giải phương trình này, ta dùng công thức nghiệm:

$$
t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Trong đó $ a = 1, b = -\dfrac{3}{4}, c = \dfrac{1}{8} $:

Tính delta:

$$
\Delta = \left(-\dfrac{3}{4}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{16} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{9}{16} - \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{16}
$$

Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$
t = \dfrac{\dfrac{3}{4} \pm \sqrt{\dfrac{1}{16}}}{2} = \dfrac{\dfrac{3}{4} \pm \dfrac{1}{4}}{2}
$$

Giải ra:

$$
t_1 = \dfrac{1}{2}, \quad t_2 = \dfrac{1}{4}
$$

Do đó, $ a = \dfrac{1}{2} $ và $ b = \dfrac{1}{4} $ (hoặc ngược lại).

Từ đó, ta có:

$$
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 2
$$

$$
\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow y = 4
$$

Hoặc:

$$
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = 4
$$

$$
\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2
$$

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

$$
(x, y) = (2, 4) \text{ hoặc } (4, 2)
$$

**Kết quả:** $ (x, y) = (2, 4) $ hoặc $ (4, 2) $

Anh Trí · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Điều kiện: $x eq 0; y eq 0$

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^2 - \frac{2}{xy} = \frac{5}{16} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \ (\frac{3}{4})^2 - \frac{2}{xy} = \frac{5}{16} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \ \frac{9}{16} - \frac{2}{xy} = \frac{5}{16} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \ \frac{2}{xy} = \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \ \frac{1}{xy} = \frac{1}{8} \end{cases}$

Khi đó $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ là nghiệm của phương trình:

$t^2 - \frac{3}{4}t + \frac{1}{8} = 0$

$\Leftrightarrow 8t^2 - 6t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (2t - 1)(4t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = \frac{1}{2} \ t = \frac{1}{4} \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1:

$\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \ \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \ y = 4 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2:

$\begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{4} \ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \ y = 2 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ là $(2; 4)$ và $(4; 2)$.

7, Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{4} \\ \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{5}{16} \end{cases}$