Một kĩ sư thiết kế cây cầu treo bắt ngang dòng sông (như hình vẽ). Ở hai bên dòng sông, kĩ sư thiết kế hai cột trụ đỡ AA' và BB'có độ cao 30m và bên trên có bắt một dây truyền có dạng Parabol ACB để đỡ nền cầu. Hai đầu của dây truyền được gắn chặt vào hai điểm Avà B. Để chịu sức nặng của cây cầu và các phương tiện giao thông thì ở khoảng giữa cầu phải đặt thêm dây cáp treo thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền. Biết khoảng cách giữa các dây cáp treo và hai cột trụ là bằng nhau và dây cáp có độ dài ngắn nhất là OC =5m . Khoảng cách A B = 200m . Tổng chiều dài các cáp treo còn lại là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).

Question

Một kĩ sư thiết kế cây cầu treo bắt ngang dòng sông (như hình vẽ). Ở hai bên dòng sông, kĩ sư thiết kế hai cột trụ đỡ AA&#x27; và BB&#x27;có độ cao 30m và bên trên có bắt một dây truyền có dạng Parabol ACB để đỡ nền cầu. Hai đầu của dây truyền được gắn chặt vào hai điểm Avà B. Để chịu sức nặng của cây cầu và các phương tiện giao thông thì ở khoảng giữa cầu phải đặt thêm dây cáp treo thẳng đứng nối nền cầu với dây truyền. Biết khoảng cách giữa các dây cáp treo và hai cột trụ là bằng nhau và dây cáp có độ dài ngắn nhất là OC =5m . Khoảng cách A B = 200m . Tổng chiều dài các cáp treo còn lại là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần mười).

toi stan đúng ng r · Accepted Answer

{"userId": 5045045, "userName": "Lê Minh Dũng "}Phương trình có dạng: $y = ax^2 + c$Vì Parabol đi qua $C(0, 5)$, ta có: $c = 5$.Vì Parabol đi qua $B(100, 30)$, ta có:$30=a(100)^{2}+5\Rightarrow 10000a=25\Rightarrow a=\frac{25}{10000}=0,0025$Phương trình dây chuyền: $y = 0,0025x^2 + 5$.3. Tính tổng chiều dài các dây cáp treoGiả sử các dây cáp treo được đặt cách đều nhau (đề bài nói "khoảng cách giữa các dây cáp treo và hai cột trụ là bằng nhau", thường ngầm hiểu là chia đoạn $AB$ thành các phần bằng nhau). Tuy nhiên, đề không nêu rõ có bao nhiêu dây cáp.Thông thường với dạng toán lớp 10 này, các dây cáp được chia cách nhau mỗi $10\text{m}, 20\text{m}\dots$ hoặc đề bài thiếu hình vẽ minh họa số lượng dây. Nếu giả định phổ biến là các dây cách nhau mỗi $20\text{m}$ (chia đoạn $200\text{m}$ thành 10 khoảng), ta sẽ có 9 dây treo ở giữa (không tính 2 cột trụ):Các vị trí $x$ tương ứng: $\pm 20, \pm 40, \pm 60, \pm 80$ và $x = 0$ (dây $OC$).Chiều dài dây tại $x$ là $L(x) = 0,0025x^2 + 5$.Dây $OC = 5\text{m}$ (đã biết).Tổng các dây còn lại $= 2 \times [L(20) + L(40) + L(60) + L(80)]$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm chiều dài của các dây cáp treo.

Trước tiên, chúng ta có một số thông tin quan trọng:
- Chiều cao của các cột trụ AA&#x27; và BB&#x27; là 30m.
- Khoảng cách giữa hai cột trụ A và B là 200m.
- Dây truyền ACB có hình dạng parabol.
- Chiều dài ngắn nhất của dây cáp treo OC là 5m.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
   - Giả sử A = (0, 30) và B = (200, 30).
   - Điểm O nằm ở giữa hai cột trụ, nên O = (100, y) với y < 30.

2. **Xác định tọa độ điểm C**:
   - Vì dây truyền ACB là một parabol, và O nằm trên dây cáp treo OC, chúng ta cần tìm y tại O sao cho OC = 5m.

3. **Sử dụng định lý Pythagore**:
   - Chiều dài OC được tính bằng công thức: 
   $$
   OC = \sqrt{(100 - 100)^2 + (y - 30)^2} = 5
   $$
   - Từ đó, ta có:
   $$
   |y - 30| = 5
   $$
   - Giải phương trình này, ta có hai trường hợp:
     - $y - 30 = 5 \Rightarrow y = 35$ (không hợp lệ vì y phải nhỏ hơn 30)
     - $y - 30 = -5 \Rightarrow y = 25$ (hợp lệ)

4. **Xác định chiều dài các dây cáp treo**:
   - Từ O = (100, 25) tới A = (0, 30):
   $$
   OA = \sqrt{(100 - 0)^2 + (25 - 30)^2} = \sqrt{10000 + 25} = \sqrt{10025} \approx 100.1249
   $$

- Từ O tới B = (200, 30):
   $$
   OB = \sqrt{(100 - 200)^2 + (25 - 30)^2} = \sqrt{(-100)^2 + (-5)^2} = \sqrt{10000 + 25} = \sqrt{10025} \approx 100.1249
   $$

5. **Tính tổng chiều dài của các cáp treo**:
   - Tổng chiều dài các dây cáp treo = OA + OB = 100.1249 + 100.1249 = 200.2498.

Làm tròn đến hàng phần mười, chiều dài tổng các cáp treo là khoảng **200.2m**.

**Đáp án**: 200.2 m.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

1. Chọn hệ trục tọa độ và tìm phương trình Parabol

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho:

• Trục $Oy$ đi qua dây cáp ngắn nhất $OC$ (với $C$ là đỉnh của Parabol).

• Trục $Ox$ nằm dọc theo nền cầu, gốc $O$ là chân của dây cáp ngắn nhất $OC$.

Khi đó:

• Đỉnh của Parabol có tọa độ là $C(0; 5)$ vì độ dài dây ngắn nhất $OC = 5\text{ m}$.

• Phương trình Parabol có dạng: $y = ax^2 + 5$ (với $a > 0$).

2. Xác định hệ số $a$

Khoảng cách giữa hai cột trụ là $A'B' = 200\text{ m}$. Do tính chất đối xứng qua trục $Oy$, mỗi cột trụ nằm cách gốc $O$ một khoảng là:

$x=\frac{200}{2}=100\text{ m}$

Vì hai cột trụ $AA^{\prime }$ và $BB^{\prime }$ có độ cao $30\text{ m}$ nên tọa độ của điểm $B$ là $(100; 30)$. Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình Parabol ta được:

$30=a\cdot 100^{2}+5$

$25=10000a\implies a=\frac{25}{10000}=\frac{1}{400}=0,0025$

Vậy phương trình của dây truyền Parabol là:

$y=\frac{1}{400}x^{2}+5$

________________________________________

3. Tính chiều dài các dây cáp treo còn lại

Theo mô hình tiêu chuẩn của bài toán này, khoảng cách giữa các dây cáp và hai cột trụ bằng nhau chia mỗi nửa cầu thành 4 phần bằng nhau (tổng cộng 8 khoảng trên toàn cây cầu).

Khoảng cách giữa các dây cáp liên tiếp là:

$d=\frac{100}{4}=25\text{ m}$

Các dây cáp treo ở một phía của cầu sẽ đặt tại các vị trí hoành độ $x_1 = 25$, $x_2 = 50$, $x_3 = 75$. Chiều dài của từng dây cáp lần lượt là:

• Tại $x = 25$: $y_1 = \frac{25^2}{400} + 5 = 1,5625 + 5 = 6,5625\text{ m}$

• Tại $x = 50$: $y_2 = \frac{50^2}{400} + 5 = 6,25 + 5 = 11,25\text{ m}$

• Tại $x = 75$: $y_3 = \frac{75^2}{400} + 5 = 14,0625 + 5 = 19,0625\text{ m}$

________________________________________

4. Kết luận tổng chiều dài

Tùy thuộc vào cách diễn đạt trong barem chấm điểm của đề thi (tính một bên hay cả hai bên cầu):

• Trường hợp 1 (Theo đáp án gốc của đề): Chỉ tính tổng các dây cáp ở một phía bên dòng sông:

$S=6,5625+11,25+19,0625=36,875\text{m}\approx \mathbf{36,9}\text{ m}$

• Trường hợp 2 (Tính chính xác cho cả hai bên cầu): Nhân đôi kết quả do tính đối xứng của cầu treo:

$S_{\text{tng}}=2\times 36,875=\mathbf{73,75}\text{ m}\approx \mathbf{73,8}\text{ m}$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5045045,"userName":"Lê Minh Dũng"}

Bạn tham khoả nha ><

Một kĩ sư thiết kế cây cầu treo bắt ngang dòng sông (như hình vẽ). Ở hai bên dòng sông, kĩ sư thiết kế hai cột trụ đỡ AA' và BB'có độ cao 30m và bên trên có bắt một dây truyền có dạng Parabol ACB để đỡ...