Giúp mình với! Biết phương trình $-3x^2+8x-3=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2.$ Không giải phương trình, hãy tính,$P=x_1(2-\frac1{x_2})+x_2(2-\frac1{x_1}).$

Question

Bada · Accepted Answer

Ta có: a = 3, b’ = 4, c = –3 và ∆’ = 4² – 3.(–3) = 25 > 0,

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Timi · Answer

Để tính giá trị của $ P = x_1(2 - \frac{1}{x_2}) + x_2(2 - \frac{1}{x_1}) $, ta có thể thay đổi biểu thức một chút:

$$
P = x_1 \cdot 2 - \frac{x_1}{x_2} + x_2 \cdot 2 - \frac{x_2}{x_1}
$$

$$
P = 2(x_1 + x_2) - \left( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right)
$$

Gọi $ S = x_1 + x_2 $ và $ P = x_1 x_2 $ là tổng và tích của hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $. Theo định lý Vieta, với phương trình bậc hai $ -3x^2 + 8x - 3 = 0 $, ta có:

$$
S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{-3} = \frac{8}{3}
$$

$$
P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{-3} = 1
$$

Tiếp theo, ta cần tính $ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} $:

$$
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}
$$

Sử dụng công thức $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $:

$$
x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = \left( \frac{8}{3} \right)^2 - 2 \cdot 1 = \frac{64}{9} - 2 = \frac{64}{9} - \frac{18}{9} = \frac{46}{9}
$$

Vậy:

$$
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{\frac{46}{9}}{1} = \frac{46}{9}
$$

Thay các giá trị vào công thức tính $ P $:

$$
P = 2S - \left( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} - \frac{46}{9}
$$

Tính $ 2 \cdot \frac{8}{3} $:

$$
2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = \frac{48}{9}
$$

Vậy:

$$
P = \frac{48}{9} - \frac{46}{9} = \frac{2}{9}
$$

Kết luận:

$$
P = \frac{2}{9}
$$

Vậy giá trị của $ P $ là $ \frac{2}{9} $.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Cho phương trình bậc hai: $-3x^2 + 8x - 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

• $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3}$

• $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{-3} = 1$

Cần tính giá trị biểu thức:

$P=x_{1}\left(2-\frac{1}{x_{2}}\right)+x_{2}\left(2-\frac{1}{x_{1}}\right)$

________________________________________

Cách giải:

1. Khai triển biểu thức $P$:

$P=2x_{1}-\frac{x_{1}}{x_{2}}+2x_{2}-\frac{x_{2}}{x_{1}}$

$P=2(x_{1}+x_{2})-\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)$

2. Quy đồng mẫu số phân thức trong ngoặc:

$P=2(x_{1}+x_{2})-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$

$P=2(x_{1}+x_{2})-\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

3. Thay các giá trị Vi-ét vào:

$P=2\left(\frac{8}{3}\right)-\frac{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-2(1)}{1}$

$P=\frac{16}{3}-\left(\frac{64}{9}-2\right)$

$P=\frac{16}{3}-\frac{64-18}{9}$

$P=\frac{16}{3}-\frac{46}{9}$

4. Tính kết quả cuối cùng:

$P=\frac{48}{9}-\frac{46}{9}=\frac{2}{9}$

Vậy $P = \frac{2}{9}$.

Dương Nhiên · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Lời giải

Xét phương trình: $-3x^2 + 8x - 3 = 0$ (1)

Vì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1, x_2$, theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{8}{-3}=\frac{8}{3}\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{-3}=1\end{cases}$

Ta có biểu thức:

$P=x_{1}\left(2-\frac{1}{x_{2}}\right)+x_{2}\left(2-\frac{1}{x_{1}}\right)$

Khai triển biểu thức $P$:

$P=2x_{1}-\frac{x_{1}}{x_{2}}+2x_{2}-\frac{x_{2}}{x_{1}}$

$P=2(x_{1}+x_{2})-\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)$

$P=2(x_{1}+x_{2})-\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$$P=2(x_{1}+x_{2})-\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

Thay các giá trị $x_1 + x_2 = \frac{8}{3}$ và $x_1x_2 = 1$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P=2\cdot \frac{8}{3}-\frac{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-2\cdot 1}{1}$

$P=\frac{16}{3}-\left(\frac{64}{9}-2\right)$

$P=\frac{16}{3}-\frac{46}{9}$

$P=\frac{48}{9}-\frac{46}{9}=\frac{2}{9}$

Vậy $P = \frac{2}{9}$.

Huycindy · Answer

Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình $-3x^2 + 8x - 3 = 0$:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{8}{3} \ x_1 x_2 = 1 \end{cases}$
Biến đổi biểu thức $P$:
$P = 2x_1 - \dfrac{x_1}{x_2} + 2x_2 - \dfrac{x_2}{x_1}$
$P = 2(x_1 + x_2) - \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$
$P = 2(x_1 + x_2) - \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}$
$P = 2 . \dfrac{8}{3} - \dfrac{\left(\dfrac{8}{3}ight)^2 - 2 . 1}{1}$
$P = \dfrac{16}{3} - \left(\dfrac{64}{9} - 2ight)$
$P = \dfrac{16}{3} - \dfrac{46}{9}$
$P = \dfrac{2}{9}$