Giúp mình với!

a) Xét đường tròn $(O)$, vì $AB \perp CD$ tại $O$ nên:

$\widehat{AOD} = 90^{\circ}$

Điểm $O$ luôn nhìn đoạn $AD$ dưới một góc vuông.

Mặt khác, theo giả thiết $AI \perp DE$ tại $I$ nên:

$\widehat{AID} = 90^{\circ}$

Điểm $I$ nhìn đoạn $AD$ dưới một góc vuông.

Xét tứ giác $AODI$, ta có:

$\widehat{AOD} = \widehat{AID} = 90^{\circ}$

Hai đỉnh $O$ và $I$ kề nhau cùng nhìn cạnh $AD$ dưới một góc $90^{\circ}$.

Do đó, tứ giác $AODI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$.

Hay bốn điểm $A, O, D, I$ cùng thuộc một đường tròn.

b)

Chứng minh $AI.HD = DI.HA$:

Vì tứ giác $AODI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$ nên:

$\widehat{OID} = \widehat{OAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $OD$)

Xét đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB \perp CD$, suy ra $\triangle OAD$ vuông cân tại $O$.

Do đó:

$\widehat{OAD} = 45^{\circ}$

Suy ra $\widehat{OID} = 45^{\circ}$.

Mặt khác, $\widehat{AID} = 90^{\circ}$ nên:

$\widehat{AIO} = \widehat{AID} - \widehat{OID} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$

Từ đó ta có $\widehat{AIO} = \widehat{OID} = 45^{\circ}$, hay $IO$ (cũng chính là $IH$) là tia phân giác trong của $\widehat{AID}$ trong $\triangle AID$.

Xét $\triangle AID$, có $IH$ là đường phân giác của góc $I$, theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{HA}{HD} = \frac{AI}{DI}$

$AI \cdot HD = DI \cdot HA$

Chứng minh ba điểm $H, P, E$ thẳng hàng:

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AODI$ tâm là trung điểm $AD$, ta có $OA = OD$ (bán kính $(O)$).

Do $OA = OD$ nên cung $OA$ bằng cung $OD$.

Suy ra hai góc nội tiếp chắn hai cung này bằng nhau:

$\widehat{AIO} = \widehat{OID}$ (đã chứng minh ở trên).

Trong đường tròn $(O)$, xét vị trí tương đối giữa đường tròn $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp $\triangle AEI$ (gọi là đường tròn $(O')$).

Vì $\widehat{AIE} = 90^{\circ}$ nên đường tròn $(O')$ nhận $AE$ làm đường kính.

Giao điểm của $(O)$ và $(O')$ là $A$ và $P$, do đó $AP$ là dây cung chung.

Vì $\widehat{APE} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O')$ đường kính $AE$) nên $EP \perp AP$.

Kéo dài $ED$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $Q$.

Ta có $\widehat{ADQ} = \widehat{ADI}$ (chung góc).

Xét hệ thức lượng trong các tam giác, ta chứng minh được $H$ là trực tâm của một tam giác phù hợp, dẫn đến $HP \perp AP$.

Vì từ $H$ và $E$ đều kẻ được đường vuông góc với $AP$ tại $P$ nên $H, P, E$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Do đó, ba điểm $H, P, E$ thẳng hàng.