Giúp mình với! Bài 23: Cho biểu thức $P=\frac{x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\frac{2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\frac{2(x-1)}{\sqrt x-1}$ với $x0,~x
e1$,a) Rút gọn biểu thức P,b) Tìm các giá trị của x để $P=7.$

Question

Giúp mình với! Bài 23: Cho biểu thức $P=\frac{x^2-\sqrt x}{x+\sqrt x+1}-\frac{2x+\sqrt x}{\sqrt x}+\frac{2(x-1)}{\sqrt x-1}$ với $x>0,~x
e1$,a) Rút gọn biểu thức P,b) Tìm các giá trị của x để $P=7.$

ft. Hoàng · Accepted Answer

a) Ta có:

$P = \dfrac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \dfrac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \dfrac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1}$

$P = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}^3 - 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} + \dfrac{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}$

$P = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + 2(\sqrt{x} + 1)$

$P = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - 2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 2$

$P = x - \sqrt{x} - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1$

$P = x - \sqrt{x} + 1$

b) Để $P = 7$:

$x - \sqrt{x} + 1 = 7$

$x - \sqrt{x} - 6 = 0$

Đặt $t = \sqrt{x} (t > 0)$:

$t^2 - t - 6 = 0$

$(t - 3)(t + 2) = 0$

Vì $t > 0$ nên $t = 3$

$\sqrt{x} = 3$

$x = 9$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x = 9$ là giá trị cần tìm.

Timi · Answer

Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu trong đề bài.

### a) Rút gọn biểu thức $ P $

Ta có biểu thức:

$$
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}
$$

1. **Rút gọn từng phần của $ P $**

- Phần đầu tiên: $ \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} $
- Phần thứ hai: $ -\frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -2\sqrt{x} - 1 $
- Phần thứ ba: $ \frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1} $

**Rút gọn phần thứ ba:**

Biểu thức $ \frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1} $ có thể được biến đổi thành:

$$
= 2\cdot \frac{(\sqrt{x})^2 - 1}{\sqrt{x} - 1} = 2(\sqrt{x} + 1)
$$

Vậy ta có:

$$
\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1} = 2(\sqrt{x} + 1)
$$

2. **Kết hợp các phần lại**

Bây giờ ta thay các phần vào lại biểu thức $ P $:

$$
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} - 1 + 2(\sqrt{x} + 1)
$$

Rút gọn lại:

$$
P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 2 = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1
$$

3. **Rút gọn tiếp**

Ta cần làm đơn giản phần tử ở trên. Đặt $ y = \sqrt{x} $, ta có $ x = y^2 $.

Biểu thức lúc này sẽ trở thành:

$$
P = \frac{y^4 - y}{y^2 + y + 1} + 1
$$

Giờ hãy xem xét cách chia $ y^4 - y $ cho $ y^2 + y + 1 $.

Thực hiện chia:

- $ y^4 \div y^2 = y^2 $
- $ y^2(y^2 + y + 1) = y^4 + y^3 + y^2 $
- Thực hiện phép trừ: $ (y^4 - y) - (y^4 + y^3 + y^2) = -y^3 - y^2 - y $

Vậy:

$$
P = y^2 - 1 + \frac{-y^3 - y^2 - y}{y^2 + y + 1}
$$

### b) Tìm các giá trị của $ x $ để $ P = 7 $

Ta đặt $ P = 7 $:

$$
\frac{y^4 - y}{y^2 + y + 1} + 1 = 7
$$

Giải phương trình:

$$
\frac{y^4 - y}{y^2 + y + 1} = 6
$$

Suy ra:

$$
y^4 - y = 6(y^2 + y + 1)
$$

$$
y^4 - y - 6y^2 - 6y - 6 = 0
$$

$$
y^4 - 6y^2 - 7y - 6 = 0
$$

Giải phương trình bậc 4 này bằng phương pháp phù hợp (như thử các nghiệm hay sử dụng máy tính).

Sau khi giải, ta có thể tìm được các nghiệm $ y $. Sau đó, chuyển đổi về $ x $ bằng cách $ x = y^2 $.

Khi tìm được các giá trị của $ x $, ta cần kiểm tra điều kiện $ x > 0 $ và $ x \neq 1 $.

### Kết quả:

Các giá trị của $ x $ thỏa mãn $ P = 7 $ sẽ là nghiệm của phương trình bậc 4 mà ta đã tìm ra. (Thực hiện giải cụ thể sẽ cho ra nghiệm chính xác).

Huycindy · Answer

$a)$ $P = \dfrac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} + \dfrac{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}\quad (x > 0, x 
eq 1)$
$P = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + 2(\sqrt{x} + 1)$
$P = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - 2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 2$
$P = x - \sqrt{x} + 1$
Vậy $P = x - \sqrt{x} + 1$
$b)$ Để $P = 7$
$x - \sqrt{x} + 1 = 7$
$x - \sqrt{x} - 6 = 0$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2) = 0$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} - 3 = 0 \ &\sqrt{x} + 2 = 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} = 3 \ &\sqrt{x} = -2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 9 \ &	ext{vô nghiệm} \end{aligned} ight.$
$x = 9$ 
Vậy $x = 9$