Giúp mình với! Câu 15. Cho biểu thức: $A=(\frac2{x-2\sqrt x}+\frac1{2-\sqrt x}):(\sqrt x-\frac{x-4}{\sqrt x+2}).$,a, Rút gọn A.,b, Tính giá trị của A khi $x=4+2\sqrt3.$

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

a, Điều kiện xác định: $x > 0, x eq 4$

$A = \left( \dfrac{2}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{x}} ight) : \left( \sqrt{x} - \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} ight)$

$A = \left( \dfrac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} ight) : \left( \sqrt{x} - \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} ight)$

$A = \left( \dfrac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} ight) : \left( \sqrt{x} - (\sqrt{x} - 2) ight)$

$A = \left( \dfrac{-( \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} ight) : ( \sqrt{x} - \sqrt{x} + 2)$

$A = \left( \dfrac{-1}{\sqrt{x}} ight) : 2$

$A = \dfrac{-1}{2\sqrt{x}}$

b, Ta có: $x = 4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$

Suy ra: $\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$ (vì $\sqrt{3} + 1 > 0$)

Thay vào biểu thức đã rút gọn:

$A = \dfrac{-1}{2(\sqrt{3} + 1)}$

$A = \dfrac{-1(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

$A = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2(3 - 1)}$

$A = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Timi · Answer

Để rút gọn biểu thức $ A $, ta bắt đầu bằng cách xử lý các phần tử trong biểu thức.

Biểu thức đã cho là:

$$
A=\left(\frac{2}{x-2\sqrt{x}}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}\right):\left(\sqrt{x}-\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}\right).
$$

### Phần a: Rút gọn $ A $

**Bước 1: Rút gọn phần tử thứ nhất**

Phần tử thứ nhất là:

$$
\frac{2}{x-2\sqrt{x}}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}.
$$

Trước tiên, ta rút gọn $ x - 2\sqrt{x} $:
$$
x - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 2)^2.
$$

Vậy ta có:

$$
\frac{2}{x-2\sqrt{x}} = \frac{2}{(\sqrt{x}-2)^2}.
$$

Tiếp theo, ta tính $ 2 - \sqrt{x} $:
$$
\frac{1}{2-\sqrt{x}} = \frac{1}{-(\sqrt{x}-2)} = -\frac{1}{\sqrt{x}-2}.
$$

Kết hợp hai phần tử này, ta có:

$$
\frac{2}{(\sqrt{x}-2)^2} - \frac{1}{\sqrt{x}-2} = \frac{2 - (\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)^2} = \frac{4 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)^2}.
$$

**Bước 2: Rút gọn phần tử thứ hai**

Phần tử thứ hai là:

$$
\sqrt{x} - \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.
$$

Ta có thể viết lại như sau:

$$
\sqrt{x} - \frac{x-4}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)-4}{\sqrt{x}+2} = \sqrt{x} - \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}+2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2) - (x + 2\sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x}+2}.
$$

Thực hiện phép tính trong tử số:

$$
\sqrt{x}(\sqrt{x}+2) - (x + 2\sqrt{x} - 4) = x + 2\sqrt{x} - x - 2\sqrt{x} + 4 = 4.
$$

Do đó, phần tử thứ hai trở thành:

$$
\frac{4}{\sqrt{x}+2}.
$$

**Bước 3: Kết hợp lại**

Giờ ta có biểu thức rút gọn của $ A $:

$$
A = \frac{4 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)^2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{4} = \frac{(4 - \sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}{4(\sqrt{x}-2)^2}.
$$

### Phần b: Tính giá trị của $ A $ khi $ x=4+2\sqrt{3} $

Bây giờ ta tính giá trị của $ A $ với $ x = 4 + 2\sqrt{3} $:

Tính $ \sqrt{x} $:

$$
\sqrt{x} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}.
$$

Thay vào biểu thức:

$$
A = \frac{(4 - (2+\sqrt{3}))(2+\sqrt{3}+2)}{4((2+\sqrt{3}-2)^2)} = \frac{(2-\sqrt{3})(4+\sqrt{3})}{4(\sqrt{3})^2}.
$$

Tính từng phần:

- Tử số: $ (2 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 8 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 3 = 5 - 2\sqrt{3}. $
- Mẫu số: $ 4 \cdot 3 = 12. $

Kết quả là:

$$
A = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{12}.
$$

### Kết luận

Giá trị của $ A $ khi $ x = 4 + 2\sqrt{3} $ là:

$$
A = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{12}.
$$

Huycindy · Answer

$a)$ $A = \left( \dfrac{2}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2 - \sqrt{x}} ight) : \left( \sqrt{x} - \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} ight)\quad (x > 0, x 
eq 4)$
$A = \left( \dfrac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} ight) : \left( \sqrt{x} - \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} ight)$
$A = \left( \dfrac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} ight) : \left( \sqrt{x} - (\sqrt{x} - 2) ight)$
$A = \left( \dfrac{-(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} ight) : \left( \sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 ight)$
$A = \dfrac{-1}{\sqrt{x}} : 2$
$A = \dfrac{-1}{2\sqrt{x}}$
Vậy $A = \dfrac{-1}{2\sqrt{x}}$
$b)$ Khi $x = 4 + 2\sqrt{3}$
$x = 3 + 2\sqrt{3} + 1$
$x = (\sqrt{3} + 1)^2$
$\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}$
$\sqrt{x} = \vert{}\sqrt{3} + 1\vert{}$
$\sqrt{x} = \sqrt{3} + 1$ (n)
$A = \dfrac{-1}{2(\sqrt{3} + 1)}$
$A = \dfrac{-(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$A = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2(3 - 1)}$
$A = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}$
Vậy $A = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{4}$