Giúp mình với! Câu 2: (4 điểm),a. (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c có tổng bằng 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:,$S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}.$

Question

•ᗪươйǥ Ŧɦเêй Ňɦเ ͜✿҈ · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$
S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}
$$

với điều kiện $a + b + c = 2$ và $a, b, c > 0$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho biểu thức $S$:

$$
S \leq \sqrt{(1 + 1 + 1) \left( \frac{ab}{ab+2c} + \frac{bc}{bc+2a} + \frac{ca}{ca+2b} \right)} = \sqrt{3 \left( \frac{ab}{ab+2c} + \frac{bc}{bc+2a} + \frac{ca}{ca+2b} \right)}.
$$

Tiếp theo, để tìm giá trị lớn nhất của $S$, ta thử một số giá trị của $a$, $b$ và $c$.

Chọn $a = b = c = \frac{2}{3}$:

$$
S = 3 \sqrt{\frac{\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)}{\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + 2 \cdot \frac{2}{3}}} = 3 \sqrt{\frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{9} + \frac{4}{3}}}.
$$

Tính toán mẫu số:

$$
\frac{4}{9} + \frac{4}{3} = \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{16}{9}.
$$

Do đó,

$$
S = 3 \sqrt{\frac{\frac{4}{9}}{\frac{16}{9}}} = 3 \sqrt{\frac{4}{16}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
$$

Chúng ta cần kiểm tra xem $S$ có thể đạt được giá trị lớn hơn không. Khi thử các trường hợp khác nhau, ta nhận thấy rằng giá trị này là lớn nhất.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $S$ là:

$$
\boxed{\frac{3}{2}}.
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Đề bài: Cho các số thực dương $a, b, c$ có $a + b + c = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}$

________________________________________

Lời giải chi tiết:

1. Thay thế điều kiện $a+b+c=2$ vào biểu thức:

Ta có: $2c = (a+b+c)c = ac + bc + c^2$.

Khi đó mẫu thức của hạng tử thứ nhất trở thành:

$ab+2c=ab+ac+bc+c^{2}=(a+c)(b+c)$

Tương tự cho các mẫu thức còn lại:

• $bc + 2a = (b+a)(c+a)$

• $ca + 2b = (c+b)(a+b)$

2. Biến đổi biểu thức $S$:

$S=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}}+\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}$

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):

Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$ cho từng số hạng:

• $\sqrt{\frac{a}{a+c} \cdot \frac{b}{b+c}} \le \frac{1}{2} \left( \frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c} \right)$

• $\sqrt{\frac{b}{b+a} \cdot \frac{c}{c+a}} \le \frac{1}{2} \left( \frac{b}{b+a} + \frac{c}{c+a} \right)$

• $\sqrt{\frac{c}{c+b} \cdot \frac{a}{a+b}} \le \frac{1}{2} \left( \frac{c}{c+b} + \frac{a}{a+b} \right)$

4. Cộng các bất đẳng thức trên:

$S\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)$

Gom nhóm các phân thức có cùng mẫu số:

$S\le \frac{1}{2}\left[\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+b}\right)+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}\right)\right]$

$S\le \frac{1}{2}(1+1+1)=\frac{3}{2}$

5. Kết luận:

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{a+c} = \frac{b}{b+c}$, $\frac{b}{b+a} = \frac{c}{c+a}$ và $\frac{c}{c+b} = \frac{a}{a+b}$.

Điều này tương đương với $a = b = c$.

Vì $a+b+c=2$ nên $a = b = c = \frac{2}{3}$.

Giá trị lớn nhất của $S$ là $\frac{3}{2}$.

Huycindy · Answer

Thay $2 = a + b + c$ vào căn thức thứ nhất của biểu thức $S$, ta có:
$ab + 2c = ab + (a + b + c)c$
$ab + 2c = ab + ac + bc + c^2$
$ab + 2c = a(b + c) + c(b + c)$
$ab + 2c = (a + c)(b + c)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương, ta có:
$\sqrt{\dfrac{ab}{ab + 2c}} = \sqrt{\dfrac{ab}{(a + c)(b + c)}} = \sqrt{\dfrac{a}{a + c} . \dfrac{b}{b + c}} \le \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a}{a + c} + \dfrac{b}{b + c} ight)$
Tương tự cho hai căn thức còn lại, ta có:
$\sqrt{\dfrac{bc}{bc + 2a}} = \sqrt{\dfrac{bc}{(b + a)(c + a)}} = \sqrt{\dfrac{b}{b + a} . \dfrac{c}{c + a}} \le \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{b}{b + a} + \dfrac{c}{c + a} ight)$
$\sqrt{\dfrac{ca}{ca + 2b}} = \sqrt{\dfrac{ca}{(c + b)(a + b)}} = \sqrt{\dfrac{c}{c + b} . \dfrac{a}{a + b}} \le \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{c}{c + b} + \dfrac{a}{a + b} ight)$
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
$S \le \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a}{a + c} + \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{b}{b + a} + \dfrac{c}{c + a} + \dfrac{c}{c + b} + \dfrac{a}{a + b} ight)$
$S \le \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{a + b} ight) + \left( \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{c}{b + c} ight) + \left( \dfrac{c}{c + a} + \dfrac{a}{c + a} ight) ight]$
$S \le \dfrac{1}{2} (1 + 1 + 1)$
$S \le \dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi:
$\begin{cases} \dfrac{a}{a + c} = \dfrac{b}{b + c} \ \dfrac{b}{b + a} = \dfrac{c}{c + a} \ \dfrac{c}{c + b} = \dfrac{a}{a + b} \ a + b + c = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} a(b + c) = b(a + c) \ b(c + a) = c(b + a) \ c(a + b) = a(c + b) \ a + b + c = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} ac = bc \ ab = ac \ bc = ab \ a + b + c = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} a = b = c \ a + b + c = 2 \end{cases}$
$a = b = c = \dfrac{2}{3}$
Vậy $S_{\max} = \dfrac{3}{2}$ khi $a = b = c = \dfrac{2}{3}$

Anh Trí · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Áp dụng giả thiết $a + b + c = 2$, ta có:

$ab + 2c = ab + (a + b + c)c = ab + ac + bc + c^2 = (a + c)(b + c)$

Tương tự:

$bc + 2a = (b + a)(c + a)$

$ca + 2b = (c + b)(a + b)$

Khi đó biểu thức $S$ trở thành:

$S = \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} + \sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}} + \sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}} = \sqrt{\frac{a}{a+c} \cdot \frac{b}{b+c}} \le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c}\right)$

$\sqrt{\frac{bc}{(b+a)(c+a)}} = \sqrt{\frac{b}{b+a} \cdot \frac{c}{c+a}} \le \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a} + \frac{c}{c+a}\right)$

$\sqrt{\frac{ca}{(c+b)(a+b)}} = \sqrt{\frac{c}{c+b} \cdot \frac{a}{a+b}} \le \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b} + \frac{a}{a+b}\right)$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên:

$S \le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c} + \frac{c}{c+a} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+b} + \frac{b}{b+a} + \frac{a}{a+b}\right)$

$S \le \frac{1}{2}(1 + 1 + 1)$

$S \le \frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$a = b = c = \frac{2}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là $\frac{3}{2}$.